Question

已知函數(shù)f（x）=（-x²-mx-m）e^-x（m∈R）．
（Ⅰ）求f′（x）；
（Ⅱ）求f（x）的單調(diào)區(qū)間．

Answer 1

考點：利用導數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性

專題：

分析：（Ⅰ）根據(jù)導數(shù)公式，即可求f′（x）；
（Ⅱ）利用f′（x）＞0或f′（x）＜），即可求f（x）的單調(diào)區(qū)間．

解答： 解：（Ⅰ）f'（x）=（-2x-m）e^-x+（-x²-mx-m）e^-x（-1）．
（Ⅱ）函數(shù)f（x）的定義域為R，
由e^-x＞0，得 f'（x）與x²+（m-2）x同號．令f'（x）=0，
得x²+（m-2）x=0，x₁=0，x₂=2-m．
（1）當m＜2時，

x	（-∞，0）	0	（0，2-m）	2-m	（2-m，+∞）
f'（x）	+	0	-	0	+
f（x）	↗		↘		↗

f（x）的增區(qū)間為（-∞，0）和（2-m，+∞）；f（x）的減區(qū)間為（0，2-m）．
（2）當m=2時，f'（x）≥0恒成立，f（x）的增區(qū)間為（-∞，+∞），無減區(qū)間．
（3）當m＞2時，

x	（-∞，2-m）	2-m	（2-m，0）	0	（0，+∞）
f'（x）	+	0	-	0	+
f（x）	↗		↘		↗

f（x）的增區(qū)間為（-∞，2-m）和（0，+∞）；f（x）的減區(qū)間為（2-m，0）．
故f（x）的單調(diào)區(qū)間為：

m	f（x）的增區(qū)間	f（x）的減區(qū)間
m＜2	（-∞，0）和（2-m，+∞）	（0，2-m）
m=2	（-∞，+∞）	無
m＞2	（-∞，2-m）和（0，+∞）	（2-m，0）

點評：本題主要考查函數(shù)單調(diào)單調(diào)性和導數(shù)之間的關(guān)系，要求熟練掌握導數(shù)的公式以及單調(diào)性和導數(shù)之間的關(guān)系．