Question

9．設(shè)當(dāng)x=θ時，函數(shù)y=3sinx-cosx取得最大值，則sinθ=（　�。�

• A． $-\frac{{\sqrt{10}}}{10}$
• B． $\frac{{\sqrt{10}}}{10}$
• C． $-\frac{{3\sqrt{10}}}{10}$
• D． $\frac{{3\sqrt{10}}}{10}$

Answer 1

分析 利用輔助角公式、兩角差的正弦公式化簡解析式：f（x）=$\sqrt{10}$sin（x-α），并求出cosα和sinα，由條件和正弦函數(shù)的最值列出方程，求出θ的表達(dá)式，由誘導(dǎo)公式求出sinθ的值．

解答 解：∵函數(shù)f（x）=3sinx-cosx
=$\sqrt{10}$（$\frac{3}{\sqrt{10}}$sinx-$\frac{1}{\sqrt{10}}$cosx）
=$\sqrt{10}$sin（x-α）（其中cosα=$\frac{3}{\sqrt{10}}$，sinα=$\frac{1}{\sqrt{10}}$ ）
又∵x=θ，且f（x）取得最大值，
∴θ-α=2kπ+$\frac{π}{2}$，k∈z，即 θ=2kπ+$\frac{π}{2}$+α，k∈z，
∴sinθ=sin（2kπ+$\frac{π}{2}$+α）=sin（$\frac{π}{2}$+α）
=cosα=$\frac{3}{\sqrt{10}}$=$\frac{3\sqrt{10}}{10}$，
故選：D．

點評 本題主要考查輔助角公式、誘導(dǎo)公式，以及正弦函數(shù)的最大值的應(yīng)用，考查化簡、變形能力．