Question

已知函數(shù)f（x）是定義在R上的偶函數(shù)，且對任意的x∈R，都有f（x+1）=f（x-1）．當-1≤x≤0時，f（x）=x²．若直線y=x-m與函數(shù)y=f（x）的圖象在[0，2]內恰有三個不同的公共點，則實數(shù)m的取值范圍是（　　）

• A、（-1，0）
• B、（0，

  1

  4

  ]
• C、（0，

  1

  4

  ）
• D、（-

  1

  4

  ，-

  1

  2

  ）

Answer 1

考點：函數(shù)奇偶性的性質

專題：函數(shù)的性質及應用

分析：對任意的x∈R，都有f（x+1）=f（x-1），可得f（x+2）=f（x），函數(shù)f（x）的周期T=2．由于當-1≤x≤0時，f（x）=x²．畫出圖象，即可得出[1，2]上的圖象．設直線與拋物線在[0，1]之間相切與點P（x₀，y₀）．利用導數(shù)的幾何意義可得P(

1

2

，

1

4

)．代入y=x-m，解得-m=-

1

4

．當直線經過點O，A時，m=0．若直線y=x-m與函數(shù)y=f（x）的圖象在[0，2]內恰有三個不同的公共點，則-

1

4

＜-m＜0，解得即可．

解答： 解：∵對任意的x∈R，都有f（x+1）=f（x-1），∴f（x+2）=f（x），
因此函數(shù)f（x）的周期T=2．
由于當-1≤x≤0時，f（x）=x²．畫出圖象，即可得出[1，2]上的圖象．
設直線與拋物線在[0，1]之間相切與點P（x₀，y₀）．
y′=2x，∴2x₀=1，解得x0=

1

2

，
∴y0=(

1

2

)2=

1

4

．
∴P(

1

2

，

1

4

)．
代入y=x-m，解得-m=-

1

4

．
當直線經過點O，A時，m=0．
若直線y=x-m與函數(shù)y=f（x）的圖象在[0，2]內恰有三個不同的公共點，
則-

1

4

＜-m＜0，解得0＜m＜

1

4

．
則實數(shù)m的取值范圍是0＜m＜

1

4

．
故選：C．

點評：本題考查了直線與曲線相交問題、導數(shù)的幾何意義，考查了數(shù)形結合的思想方法，考查了推理能力和計算能力，屬于難題．