設(shè)x，y∈R，求證：｜x＋y｜＝｜x｜＋｜y｜的充要條件是xy≥0.

 

答案：
解析：

分析：充分性即證：xy≥0｜x＋y｜＝｜x｜＋｜y｜必要性即證：

｜x＋y｜＝｜x｜＋｜y｜xy≥0.

證明：①充分性

若xy＝0，則有x＝0或y＝0或x＝0且y＝0.

此時(shí)顯然｜x＋y｜＝｜x｜＋｜y｜.

若xy＞0，則x，y同號(hào).

當(dāng)x＞0且y＞0時(shí)，｜x＋y｜＝x＋y＝｜x｜＋｜y｜；

當(dāng)x＜0且y＜0時(shí)，｜x＋y｜＝－x－y＝（－x）＋（－y）＝｜x｜＋｜y｜

綜上所述，xy≥0｜x＋y｜＝｜x｜＋｜y｜.

②必要性

∵｜x＋y｜＝｜x｜＋｜y｜，且x，y∈R

∴(x＋y)2＝（｜x｜＋｜y｜）2

即x2＋2xy＋y2＝x2＋2｜x｜｜y｜·y2

xy＝｜xy｜xy≥0.

因此｜x＋y｜＝｜x｜＋｜y｜xy≥0.

故xy≥0｜x＋y｜＝｜x｜＋｜y｜.

 


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