Question

已知F₁、F₂是橢圓

x2

172

+

y2

152

=1的左、右焦點(diǎn)，P是橢圓上任意一點(diǎn)，過(guò)F₁引∠F₁PF₂的外角平分線的垂線，垂足為Q，則Q與短軸端點(diǎn)的最近距離為（　�。�

• A、4
• B、2
• C、8
• D、9

Answer 1

考點(diǎn)：橢圓的簡(jiǎn)單性質(zhì)

專題：圓錐曲線中的最值與范圍問(wèn)題

分析：設(shè)F₁Q的延長(zhǎng)線交F₂P的延長(zhǎng)線于點(diǎn)M，由橢圓性質(zhì)推導(dǎo)出|MF₂|=34，由題意知OQ是△F₁F₂M的中位線，從而得到Q點(diǎn)的軌跡是以O(shè)為圓心，以17為半徑的圓，由此能求出結(jié)果．

解答： 解：∵P是焦點(diǎn)為F₁、F₂的橢圓

x2

172

+

y2

152

=1上一點(diǎn)，
PQ為∠F₁PF₂的外角平分線，QF₁⊥PQ，
設(shè)F₁Q的延長(zhǎng)線交F₂P的延長(zhǎng)線于點(diǎn)M，
∴|PM|=|PF₁|，
∵|PF₁|+|PF₂|=2a=34，∴|MF₂|=|PM|+|PF₂|=2a=34，
由題意知OQ是△F₁F₂M的中位線，
∴|OQ|=a=17，
∴Q點(diǎn)的軌跡是以O(shè)為圓心，以17為半徑的圓，
∴當(dāng)點(diǎn)Q與y軸重合時(shí)，
Q與短軸端點(diǎn)取最近距離d=a-b=17-15=2．
故選：B．

點(diǎn)評(píng)：本題考查動(dòng)點(diǎn)與橢圓短軸頂點(diǎn)的最小距離的求法，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意數(shù)形結(jié)合思想的合理運(yùn)用．