Question

【題目】在平面直角坐標(biāo)系中，動點在拋物線上運動，點在軸上的射影為，動點滿足.

求動點的軌跡的方程；

過點作互相垂直的直線，，分別交曲線于點，和，，記，的面積分別為，，問：是否為定值？若為定值，求出該定值；若不為定值，請說明理由.

Answer 1

【答案】；為定值，.

【解析】

設(shè)點，，點代入到拋物線中，由，列出相應(yīng)方程組，求出，進而求出動點的軌跡的方程；

由知曲線為拋物線，點為拋物線的焦點，分類討論當(dāng)直線的斜率為或不存在時和當(dāng)直線的斜率存在且不為時的情況，結(jié)合韋達定理和點到直線的距離公式判斷出為定值，定值為.

解：設(shè)點，，

則，且，

由，得，

即，代入，

得，即.

所以曲線的方程為.

由知曲線為拋物線，點為拋物線的焦點，

當(dāng)直線的斜率為或不存在時，均不適合題意.

當(dāng)直線的斜率存在且不為時，

設(shè)直線，與聯(lián)立消得，.

由得，且，

設(shè)，，

則，.

所以.

原點到直線的距離，

所以.

同理可求得.

所以.

所以.

因此為定值.