Question

給出下列五種說(shuō)法：
①函數(shù)y=sin（

π

2

+x）（k∈Z）是奇函數(shù)
②函數(shù)y=tanx的圖象關(guān)于點(diǎn)（kπ+

π

2

，0）（k∈Z）對(duì)稱(chēng)；
③函數(shù)y=cos²x+sinx的最小值為-1．
④log₄（1+tan1°）+log₄（1+tan2°）+log₄（1+tan3°）+…+log₄（1+tan44°）=11
⑤函數(shù)f（x）=sinx-lgx在定義域上有一個(gè)零點(diǎn)； 
其中正確的是

 

（填序號(hào)）

Answer 1

考點(diǎn)：命題的真假判斷與應(yīng)用

專(zhuān)題：三角函數(shù)的圖像與性質(zhì)

分析：①利用誘導(dǎo)公式與余弦函數(shù)的奇偶性可判斷①；
②利用正切函數(shù)的對(duì)稱(chēng)性可判斷②；
③由y=cos²x+sinx=1-sin²x+sinx=-(sinx-

1

2

)2+

5

4

及正弦函數(shù)的有界性可判斷③；
④逆用兩角和的正切，可得（1+tan1°）（1+tan2°）（1+tan3°）•…•log₄（1+tan44°）=2²²，再利用對(duì)數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)可判斷④；
⑤利用函數(shù)的零點(diǎn)（兩函數(shù)的交點(diǎn)）可判斷⑤．

解答： 解：①函數(shù)y=sin（

π

2

+x）=cosx是偶函數(shù)，故①錯(cuò)誤；
②函數(shù)y=tanx的圖象的對(duì)稱(chēng)中心為（

kπ

2

，0），故其圖象關(guān)于點(diǎn)（kπ+

π

2

，0）（k∈Z）對(duì)稱(chēng)，故②正確；
③因?yàn)閥=cos²x+sinx=1-sin²x+sinx=-(sinx-

1

2

)2+

5

4

，所以當(dāng)sinx=-1時(shí)，y=cos²x+sinx取得最小值為-1，故③正確；
④因?yàn)椋?+tan1°）（1+tan44°）
=1+tan1°+tan44°+tan1°tan44°
=1+tan（1°+44°）（1-tan1°tan44°）+tan1°tan44°
=1+1-tan1°tan44°+tan1°tan44°=2，
同理可得（1+tan2°）（1+tan43°）=…=（1+tan22°）（1+tan23°）=2，
所以（1+tan1°）（1+tan2°）（1+tan3°）•…•log₄（1+tan44°）=2²²，
所以log₄（1+tan1°）+log₄（1+tan2°）+log₄（1+tan3°）+…+log₄（1+tan44°）=log₄2²²=log₄4¹¹=11，故④正確；
⑤由圖知，

函數(shù)y=sinx與y=lgx在（0，+∞）上有三個(gè)交點(diǎn)，
所以函數(shù)f（x）=sinx-lgx在定義域上有3個(gè)零點(diǎn)，故⑤錯(cuò)誤；
綜上所述，正確的是②③④，
故答案為：②③④．

點(diǎn)評(píng)：本題考查命題的真假判斷與應(yīng)用，著重考查正切函數(shù)的對(duì)稱(chēng)性及兩角和的正切的逆用，考查綜合分析與運(yùn)算能力，屬于難題．