Question

【題目】春節(jié)期間商場(chǎng)為活躍節(jié)日氣氛，特舉行“購(gòu)物有獎(jiǎng)”抽獎(jiǎng)活動(dòng)，舉辦方設(shè)置了甲、乙兩種抽獎(jiǎng)方案，方案甲的中獎(jiǎng)率為 ，每次中獎(jiǎng)可以獲得20元購(gòu)物代金券，方案乙的中獎(jiǎng)率為 ，每次中獎(jiǎng)可以獲得30元購(gòu)物代金券，未中獎(jiǎng)則不獲得購(gòu)物代金券，每次抽獎(jiǎng)中獎(jiǎng)與否互不影響，已知小明通過(guò)購(gòu)物獲得了2次抽獎(jiǎng)機(jī)會(huì)．
（1）若小明選擇方案甲、乙各抽獎(jiǎng)一次，記他累計(jì)獲得的購(gòu)物代金券面額之和為X，求X≤30的概率；
（2）設(shè)小明兩次抽獎(jiǎng)都選擇方案甲或都選擇方案乙，且都選擇方案乙時(shí)，已算得，累計(jì)獲得的購(gòu)物代金券面額之和X1的數(shù)學(xué)期望E（X1）=24，問(wèn)：小明選擇這兩種方案中的何種方案抽獎(jiǎng)，累計(jì)獲得的購(gòu)物代金券面額之和的數(shù)學(xué)期望較大？

Answer 1

【答案】
（1）解：由題意知，甲方案中獎(jiǎng)的概率為 ，乙方案中獎(jiǎng)的概率為 ，且兩次抽獎(jiǎng)中獎(jiǎng)與否互不影響，

記“小明累計(jì)得分X≤30”的事件為A，則事件A的對(duì)立事件是“X=50”，

因?yàn)镻（X=50）= = ，∴P（A）=1﹣P（X=50）= ．

即他的累計(jì)得分x≤30的概率為

（2）解：設(shè)小明兩次都選擇甲方案抽獎(jiǎng)中獎(jiǎng)次數(shù)為X2，小明兩次都選擇方案乙抽獎(jiǎng)中獎(jiǎng)次數(shù)為X1，則這兩人都選擇甲方案抽獎(jiǎng)累計(jì)得分的數(shù)學(xué)期望為E（20X2），都選擇乙方案抽獎(jiǎng)累計(jì)得分的數(shù)學(xué)期望為E（30X1）．

由已知可得，X2～B（2， ），X1～B（2， ），

∴E（X2）=2× = ，E（X1）=2× = ，

從而E（20X2）=20E（X2）= ，E（30X1）=30E（X1）= =24，

由于E（20X2）＞E（30X1），

∴他們選擇甲方案抽獎(jiǎng)，累計(jì)得分的數(shù)學(xué)期望較大

【解析】（1）記“小明累計(jì)得分X≤30”的事件為A，則事件A的對(duì)立事件是“X=50”，由P（X=50）= ，可得P（A）=1﹣P（X=50）．（2）設(shè)小明兩次都選擇甲方案抽獎(jiǎng)中獎(jiǎng)次數(shù)為X2 ， 小明兩次都選擇方案乙抽獎(jiǎng)中獎(jiǎng)次數(shù)為X1 ， 則這兩人都選擇甲方案抽獎(jiǎng)累計(jì)得分的數(shù)學(xué)期望為E（20X2），都選擇乙方案抽獎(jiǎng)累計(jì)得分的數(shù)學(xué)期望為E（30X1）．由已知可得，X2～B（2， ），X1～B（2， ），即可得出．