Question

在野外為測量河對面的一座建筑物的高，準(zhǔn)備有皮尺（可量距離）、水平儀（可量水平角、傾斜角），測量工作在河另一岸平地上進(jìn)行，請你設(shè)計(jì)兩種不同的測量方案，畫出示意圖，并寫出計(jì)算過程和結(jié)果．（所測距離用a，角用α，β，γ表示，水平儀高為h）

Answer 1

分析：方案一：水平儀高為h，測量者在點(diǎn)C測得點(diǎn)A的仰角為α，前進(jìn)am，到達(dá)點(diǎn)D測得點(diǎn)A的仰角為β，則可求AB
方案二：水平儀高為h，測量者在點(diǎn)C測得點(diǎn)A的仰角為α，向另一方向，∠CBD=γ，前進(jìn)am，到達(dá)點(diǎn)D測得點(diǎn)A的仰角為β，則可求AB

解答：解：設(shè)建筑物的高為（AB+h）m
方案一：水平儀高為h，測量者在點(diǎn)C測得點(diǎn)A的仰角為α，前進(jìn)am，到達(dá)點(diǎn)D測得點(diǎn)A的仰角為β，則可求AB
在直角三角形ABC中，BC=

AB

tanα

在直角三角形ABDC中，BD=

AB

tanβ

∴a=BC-BD=

AB

tanα

-

AB

tanβ

∴AB=

atanαtanβ

tanβ-tanα

∴AB+h=

atanαtanβ

tanβ-tanα

+h
方案二：水平儀高為h，測量者在點(diǎn)C測得點(diǎn)A的仰角為α，向另一方向，∠CBD=γ，前進(jìn)am，到達(dá)點(diǎn)D測得點(diǎn)A的仰角為β，則可求AB
在直角三角形ABC中，BC=

AB

tanα

在直角三角形ABDC中，BD=

AB

tanβ

在△BCD中，a²=BC²+BD²-2×BC×BD×cosγ
=(

AB

tanα

)2+(

AB

tanβ

)2-2×

AB

tanα

×

AB

tanβ

×cosγ
∴AB=

atanαtanβ

tan2α+tan2β-2tanαtanβcosγ

∴AB+h=

atanαtanβ

tan2α+tan2β-2tanαtanβcosγ

+h

點(diǎn)評：本題以實(shí)際問題為載體，考查利用正弦定理與余弦定理解決實(shí)際問題，考查方案的設(shè)計(jì)，具有開放性，值得思考