Question

已知函數(shù)f（x）=sin²x+2sinxcosx+3cos²x
（Ⅰ）求函數(shù)f（x）圖象的對稱中心的坐標(biāo)；
（Ⅱ）求函數(shù)f（x）的最大值，并求函數(shù)f（x）取得最大值時x的取值集合；
（Ⅲ）求函數(shù)f（x）的增區(qū)間．

Answer 1

分析：（Ⅰ）先通過二倍角公式對函數(shù)f（x）的解析式進行化簡，得f（x）=

2

sin(2x+

π

4

)+2，根據(jù)正弦函數(shù)的性質(zhì)可知函數(shù)f（x）的中心坐標(biāo)．
（Ⅱ）根據(jù)正弦函數(shù)的性質(zhì)，當(dāng)2x+

π

4

=2kπ+

π

2

時，函數(shù)取最大值，進而可求出函數(shù)f（x）的最大值和此時x的集合．
（Ⅲ）根據(jù)正弦函數(shù)的性質(zhì)，當(dāng)2kπ-

π

2

≤2x+

π

4

≤2kπ+

π

2

時，函數(shù)單調(diào)增，進而求出函數(shù)的增區(qū)間．

解答：解：（Ⅰ）f(x)=

1

2

(1-cos2x)+sin2x+

3

2

(1+cos2x)
=sin2x+cos2x+2=

2

sin(2x+

π

4

)+2．
令2x+

π

4

=kπ得x=

kπ

2

-

π

8

(k∈Z)，
∴函數(shù)f（x）圖象對稱中心的坐標(biāo)是(

kπ

2

-

π

8

 ， 0)，（k∈Z）．
（Ⅱ）當(dāng)2x+

π

4

=2kπ+

π

2

，
即x=kπ+

π

8

（k∈Z）時，ymax=2+

2

．
∴函數(shù)f（x）取得最大值時X的集合是{x|x=kπ+

π

8

，k∈Z}．
（Ⅲ）由2kπ-

π

2

≤2x+

π

4

≤2kπ+

π

2

，
得kπ-

3π

8

≤x≤kπ+

π

8

(k∈Z)，
∴函數(shù)f（x）的單調(diào)增區(qū)間是[kπ-

3π

8

，kπ+

π

8

](k∈Z)．

點評：本題主要考查了三角函數(shù)中的恒等變換和正弦函數(shù)的性質(zhì)．熟練掌握正弦函數(shù)的單調(diào)性、對稱性、奇偶性是快速解題的前提．