Question

如圖，在△ABC中，∠C=90°，AC=BC=a，點(diǎn)P在AB上，PE∥BC交AC于E，PF∥AC交BC于F．沿PE將△APE翻折成△A′PE，使平面A′PE⊥平面ABC；沿PF將△BPF翻折成△B′PF，使平面B′PF⊥平面ABC．
（Ⅰ）求證：B′C∥平面A′PE．
（Ⅱ）設(shè)，當(dāng)λ為何值時，二面角C-A′B′-P的大小為60°？

Answer 1

（Ⅰ）證明：∵FC∥PE，F(xiàn)C?平面A'PE，∴FC∥平面A'PE．
∵平面A'PE⊥平面ABC，且A'E⊥PE，∴A'E⊥平面ABC．
同理，B'F⊥平面ABC，∴B'F∥A'E，從而B'F∥平面A'PE．
∴平面B'CF∥平面A'PE，從而B'C∥平面A'PE．
（Ⅱ）以C為原點(diǎn)，CB所在直線為x軸，CA所在直線為y軸，過C且垂直于平面ABC的直線為z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，如圖．
則C（0，0，0），，，．
∴，，．
平面CA'B'的一個法向量，
平面PA'B'的一個法向量．
由，
化簡得，解得．
分析：（I）利用線面平行的判定定理即可證明FC∥平面A'PE．再利用線面垂直的性質(zhì)定理即可證明B^′F∥A^′E，進(jìn)而得到B'F∥平面A'PE．利用面面平行的判定定理即可得到
平面B'CF∥平面A'PE，從而得到線面平行；
（II）通過建立空間直角坐標(biāo)系，利用兩個平面的法向量的夾角即可得出二面角．
點(diǎn)評：熟練掌握線面平行的判定定理、線面垂直的性質(zhì)定理、面面平行的判定與性質(zhì)定理、線面平行、通過建立空間直角坐標(biāo)系利用兩個平面的法向量的夾角得出二面角的方法等是解題的關(guān)鍵．