Question

已知f（x）=

1

3

x³+ax²+（2a-1）x，f（x）在（-9，-2）上單調(diào)遞減，求a的取值范圍．

Answer 1

考點(diǎn)：函數(shù)的單調(diào)性與導(dǎo)數(shù)的關(guān)系

專(zhuān)題：導(dǎo)數(shù)的概念及應(yīng)用

分析：問(wèn)題等價(jià)于導(dǎo)函數(shù)f′（x）=x²+2ax+（2a-1）≤0在（-9，-2）上恒成立，可得只需a大于等于

1-x

2

在x∈（-9，-2）的最大值，由x的范圍可得答案．

解答： 解：∵f（x）=

1

3

x³+ax²+（2a-1）x，f（x）在（-9，-2）上單調(diào)遞減，
∴導(dǎo)函數(shù)f′（x）=x²+2ax+（2a-1）≤0在（-9，-2）上恒成立，
變形可得2（x+1）a≤1-x²，∵x∈（-9，-2），∴x+1∈（-8，-1），
∴a≥

1-x2

2(1+x)

=

1-x

2

，只需a大于等于

1-x

2

在x∈（-9，-2）的最大值，
∵x∈（-9，-2），∴-x∈（2，9），∴1-x∈（3，10），
∴

1-x

2

∈（

3

2

，5），∴a≥5

點(diǎn)評(píng)：本題考查函數(shù)的單調(diào)性和導(dǎo)數(shù)的關(guān)系，涉及恒成立問(wèn)題，屬中檔題．