【答案】
分析:方法一(I)說明△ACB是等腰三角形即可說明CM⊥AB,然后推出結(jié)論.
(II)過點M作MH⊥平面CDE,垂足是H,連接CH交延長交ED于點F,連接MF,MD.
∠FCM是直線CM和平面CDE所成的角,解三角形即可,
方法二建立空間直角坐標系,
(I)證明垂直寫出相關向量CM和向量EM,求其數(shù)量積等于0即可證明CM⊥EM.
(II)求CM與平面CDE所成的角,寫出向量CM,以及平面的法向量,
利用數(shù)量積公式即可解答.
解答:![](http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/gzsx/web/STSource/20131023214519055849662/SYS201310232145190558496018_DA/images0.png)
解:方法一:(I)證明:因為AC=BC,M是AB的中點,
所以CM⊥AB.
又EA⊥平面ABC,
所以CM⊥EM.
(II)解:過點M作MH⊥平面CDE,垂足是H,連接CH交延長交ED于點F,
連接MF,MD.∠FCM是直線CM和平面CDE所成的角.
因為MH⊥平面CDE,ED⊥MH,
又因為CM⊥平面EDM,
所以CM⊥ED,
則ED⊥平面CMF,因此ED⊥MF.
設EA=a,
在直角梯形ABDE中,
![](http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/gzsx/web/STSource/20131023214519055849662/SYS201310232145190558496018_DA/0.png)
,M是AB的中點,
所以DE=3a,
![](http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/gzsx/web/STSource/20131023214519055849662/SYS201310232145190558496018_DA/1.png)
,
![](http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/gzsx/web/STSource/20131023214519055849662/SYS201310232145190558496018_DA/2.png)
,
得△EMD是直角三角形,其中∠EMD=90°,
所以
![](http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/gzsx/web/STSource/20131023214519055849662/SYS201310232145190558496018_DA/3.png)
.
在Rt△CMF中,
![](http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/gzsx/web/STSource/20131023214519055849662/SYS201310232145190558496018_DA/4.png)
,
所以∠FCM=45°,
故CM與平面CDE所成的角是45°.
![](http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/gzsx/web/STSource/20131023214519055849662/SYS201310232145190558496018_DA/images6.png)
方法二:如圖,以點C為坐標原點,以CA,CB分別為x軸和y軸,
過點C作與平面ABC垂直的直線為z軸,建立直角坐標系C-xyz,設EA=a,
則A(2a,0,0),B(0,2a,0),E(2a,0,a).D(0,2a,2a),M(a,a,0).
(I)證明:因為
![](http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/gzsx/web/STSource/20131023214519055849662/SYS201310232145190558496018_DA/5.png)
,
![](http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/gzsx/web/STSource/20131023214519055849662/SYS201310232145190558496018_DA/6.png)
,
所以
![](http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/gzsx/web/STSource/20131023214519055849662/SYS201310232145190558496018_DA/7.png)
,故EM⊥CM.
(II)解:設向量n=(1,y
,z
)與平面CDE垂直,則
![](http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/gzsx/web/STSource/20131023214519055849662/SYS201310232145190558496018_DA/8.png)
,
![](http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/gzsx/web/STSource/20131023214519055849662/SYS201310232145190558496018_DA/9.png)
,
即
![](http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/gzsx/web/STSource/20131023214519055849662/SYS201310232145190558496018_DA/10.png)
,
![](http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/gzsx/web/STSource/20131023214519055849662/SYS201310232145190558496018_DA/11.png)
.
因為
![](http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/gzsx/web/STSource/20131023214519055849662/SYS201310232145190558496018_DA/12.png)
,
![](http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/gzsx/web/STSource/20131023214519055849662/SYS201310232145190558496018_DA/13.png)
,
所以y
=2,x
=-2,
![](http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/gzsx/web/STSource/20131023214519055849662/SYS201310232145190558496018_DA/14.png)
,
直線CM與平面CDE所成的角θ是n與
![](http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/gzsx/web/STSource/20131023214519055849662/SYS201310232145190558496018_DA/15.png)
夾角的余角,
所以θ=45°,
因此直線CM與平面CDE所成的角是45°.
點評:本題主要考查空間線面關系、空間向量的概念與運算等基礎知識,
同時考查空間想象能力和推理運算能力.利用空間直角坐標系解答時,注意計算的準確性.