在直三棱柱ABC－中，∠BAC＝90°，AB＝B＝1，直線C與平面ABC成30°的角．(如圖所示)

(1)求點(diǎn)到平面AC的距離；

(2)求二面角B－C－A的余弦值．

答案：
解析：

　　解析：(1)∵ABC－是直三棱柱，∴∥AC，AC平面AC，∴∥平面AC，于是到平面AC的距離等于點(diǎn)到平面AC的距離，作M⊥A于M．由AC⊥平面A得平面AC⊥平面A，∴M⊥平面AC，M的長(zhǎng)是到平面AC的距離．

　　∵AB＝B＝1，⊥CB＝30°，∴C＝2，BC＝，A＝，M＝＝．

　　即到平面AC的距離為；

　　(2)作AN⊥BC于N，則AN⊥平面BC，作NQ⊥C于Q，則AQ⊥C，∴∠AQN是所求二面角的平面角，AN＝＝，AQ＝＝1．∴sin∠AQN＝＝，cos∠AQN＝．

　　說明：利用異面直線上兩點(diǎn)間的距離公式，也可以求二面角的大小，如圖，AB＝B＝1，∴A＝，又∠CB＝30°，

　　∴BC＝，C＝2，AC＝．作AM⊥C于M，BN⊥C于N，則AM＝1，BN＝，

　　CN＝，CM＝1，∴MN＝．∵BN⊥C，AM⊥C，∴BN與AM所成的角等于二面角B－C－A的平面角．設(shè)為．由AB2＝AM2＋BN2＋MN2－2AM×BN×cos得cos＝＝．


練習(xí)冊(cè)系列答案
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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

精英家教網(wǎng)在直三棱柱ABC-A1B1C1中，AB=AC=AA1=3a，BC=2a，D是BC的中點(diǎn)，F(xiàn)是C1C上一點(diǎn)，且CF=2a．
（1）求證：B1F⊥平面ADF；
（2）求三棱錐D-AB1F的體積；
（3）試在AA1上找一點(diǎn)E，使得BE∥平面ADF．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

精英家教網(wǎng)如圖，在直三棱柱ABC-A1B1C1中，平面A1BC⊥側(cè)面A1ABB1．
（Ⅰ）求證：AB⊥BC；
（Ⅱ）若AA1=AC=a，直線AC與平面A1BC所成的角為θ，二面角A1-BC-A的大小為φ，求證：θ+φ=
π2
．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

17、如圖，在直三棱柱ABC-A1B1C1中，AB⊥BC，點(diǎn)M是線段AB中點(diǎn)，N是線段A1C1的中點(diǎn)．
求證：MN∥平面BCC1B1．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

精英家教網(wǎng)如圖，在直三棱柱ABC-A1B1C1中，AA1=2，AB=1，∠ABC=90°；點(diǎn)D、E分別在BB1，A1D上，且B1E⊥A1D，四棱錐C-ABDA1與直三棱柱的體積之比為3：5．
（1）求異面直線DE與B1C1的距離；
（2）若BC=
2
，求二面角A1-DC1-B1的平面角的正切值．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

在直三棱柱ABC-A1B1C1中，B1C1=A1C1，AC1⊥A1B，M，N分別是A1B1，AB 的中點(diǎn)，給出如下三個(gè)結(jié)論：
①C1M⊥平面A1ABB1
②A1B⊥AM
③平面AMC1∥平面CNB1，其中正確結(jié)論為
①②③
①②③
（填序號(hào)）

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