Question

已知橢圓C：=1（a＞b＞0）的左、右焦點(diǎn)為F₁、F₂，離心率為，P為橢圓C上的任一點(diǎn)，△PF₁F₂的周長(zhǎng)為4+2．
（1）求橢圓C的方程；
（2）設(shè)過點(diǎn)D（0，）的直線l與橢圓C交于P、Q兩點(diǎn)，若直線OP、PQ、OQ的斜率依次成等比數(shù)列（O為坐標(biāo)原點(diǎn)），求直線l的方程．

Answer 1

【答案】分析：（1）利用橢圓的定義及其離心率計(jì)算公式、b²=a²-c²即可得出．
（2）設(shè)直線l的方程為：．與橢圓的方程聯(lián)立即可得到根與系數(shù)的關(guān)系、再利用斜率計(jì)算公式及其等比數(shù)列的性質(zhì)即可得出．
解答：解：（1）由題意可得，解得，∴b²=a²-c²=1．
∴橢圓C的方程為．
（2）由題意可知：直線l的斜率存在且不為0，又過點(diǎn)，故可設(shè)直線l的方程為：．
聯(lián)立 消去y得：
由，得：．
設(shè)P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂），則，．
y₁y₂==+，
∵直線OP，PQ，OQ的斜率依次成等比數(shù)列，∴，即，
∴，
∴，解得：，即．
∴直線l的方程為：．
點(diǎn)評(píng)：熟練掌握橢圓的定義及其離心率計(jì)算公式、b²=a²-c²、直線與橢圓相交問題轉(zhuǎn)化為方程聯(lián)立即可得到根與系數(shù)的關(guān)系、斜率計(jì)算公式及其等比數(shù)列的性質(zhì)等是解題的關(guān)鍵．