Question

已知函數(shù)f（x）=a^2x-2a^x+3（a＞0且a≠1），x∈[-1，2]，求f（x）的最值和值域．

Answer 1

考點(diǎn)：函數(shù)的值域,函數(shù)的最值及其幾何意義

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：令t=a^x，f（t）=（t-1）²+2，通過討論a的范圍，得到函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，從而得出函數(shù)的最值，函數(shù)的值域．

解答： 解：令t=a^x，x∈[-1，2]，
∴0＜a＜1時(shí)，t∈[a²，

1

a

]，a＞1時(shí)，t∈[

1

a

，a²]，
∴f（t）=t²-2t+3=（t-1）²+2，
①0＜a＜1時(shí)，0＜a²＜1，

1

a

＞1，f（t）_min=f（1）=2，
當(dāng)1-a²＞

1

a

-1，即

5 -1

2

＜a＜1時(shí)，f（t）_max=f（a²）=a⁴-2a²+3，
當(dāng)1-a²≤

1

a

-1，即0＜a≤

5 -1

2

時(shí)，f（t）_max=f（

1

a

）=

1

a2

-

2

a

+3；
②a＞1時(shí)，t∈[

1

a

，a²]，

1

a

＜1＜a，f（t）_min=f（1）=2，
當(dāng)1-

1

a

＞a²-1，解不等式，無解，
當(dāng)1-

1

a

≤a²-1，即a＞1時(shí)，f（t）_max=f（a²）=a⁴-2a²+3，
綜上：0＜a≤

5 -1

2

時(shí)，f（t）_min=2，f（t）_max=

1

a2

-

2

a

+3；∴f（x）的值域是：[2，

1

a2

-

2

a

+3]，

5 -1

2

＜a＜1時(shí)，f（t）_min=2，f（t）_max=a⁴-2a²+3，∴f（x）的值域是：[2，a⁴-2a²+3]，
a＞1時(shí)f（t）_min=2，f（t）_max=a⁴-2a²+3，∴f（x）的值域是：[2，a⁴-2a²+3]．

點(diǎn)評：本題考查了函數(shù)的單調(diào)性，函數(shù)的最值問題，考查了二次函數(shù)的性質(zhì)，換元思想，分類討論思想，是一道中檔題．