Question

已知

a

=（-sinωx-cosωx，2

3

cosωx），

b

=（-sinωx+cosωx，sinωx），設函數f（x）=

a

•

b

+λ（x∈R）的圖象關于（

7π

10

，λ）對稱，其中λ，ω為常數，且ω∈（

1

2

，1）
（1）求函數f（x）的最小正周期T； 
（2）函數過（

π

4

，0）求函數在[0，

3π

5

]上取值范圍．

Answer 1

考點：三角函數中的恒等變換應用,平面向量數量積的運算,三角函數的周期性及其求法

專題：解三角形

分析：（1）利用平面向量的數量積表示出函數解析式，利用倍角公式和兩角和公式化簡整理，利用函數關于點對稱推斷出sin（2ωx-

π

6

）=0進而求得ω，最后利用周期公式求得最小正周期．
（2）把點（

π

4

，0）代入函數解析式求得λ，進而利用x的范圍確定sin（

5π

3

x-

π

6

）的范圍，進而求得函數f（x）的取值范圍．

解答： 解：（1）f（x）=

a

•

b

+λ=sin²ωx-cos²ωx+2

3

sinωxcosωx+λ=2sin（2ωx-

π

6

）+λ，
∵函數圖象關于（

7π

10

，λ）對稱，
∴sin（2ω×

7π

10

-

π

6

）=0，即2ω•

7π

10

-

π

6

=kπ，ω=

5

7

k+

5

42

，k∈Z，
∵ω∈（

1

2

，1），取k=1時，ω=

5

6

，
∴T=

2π

2× 5 6

=

6π

5

．
（2）∵函數過（

π

4

，0），
∴f（

π

4

）=2sin（

5

6

×

π

2

-

π

6

）+λ=0，
∴λ=-2sin（

5

6

×

π

2

-

π

6

）=-2sin

π

4

=-

2

．
∵x∈[0，

3π

5

]，
∴-

π

6

≤

5

3

x-

π

6

≤

5π

6

，
∴-1-

2

≤2sin（

5π

3

x-

π

6

）-

2

≤2-

2

，
∴函數在[0，

3π

5

]上取值范圍為[-1-

2

，2-

2

]

點評：本題主要考查了平面向量數量積的運算，三角函數恒等變換的應用，三角函數圖象和性質．在解決三角函數問題時，可結合三角函數的圖象來解決．