Question

已知函數(shù)f（x）=x-（a+1）lnx-

a

x

（a＞0）．
（Ⅰ）當(dāng)a=5時(shí)，求函數(shù)f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間；
（Ⅱ）求f（x）的極大值；
（Ⅲ）求證：對(duì)于任意a＞1，函數(shù)f（x）＜0在（0，a）上恒成立．

Answer 1

分析：（I）先求出函數(shù)的定義域，求出函數(shù)f（x）的導(dǎo)函數(shù)，在定義域下令導(dǎo)函數(shù)大于0得到函數(shù)的遞增區(qū)間．
（II）通過對(duì)字母a的分類討論，探討導(dǎo)數(shù)的符號(hào)得函數(shù)的單調(diào)性，即可的函數(shù)的極大值．
（III）當(dāng)a＞1時(shí)，由（2）可知f（x）在（0，a）上的最大值為f（1）=1-a．要證函數(shù)f（x）＜0在（0，a）上恒成立，只要證f（x）在（0，a）上的最大值f（1）＜0即可．即證1-a＜0恒成立．

解答：解：定義域?yàn)椋?，+∞），且f′(x)=1-

a+1

x

+

a

x2

（Ⅰ）當(dāng)a=5時(shí)，f′(x)=1-

6

x

+

5

x2

=

x2-6x+5

x2

=

(x-1)(x-5)

x2

，令f'（x）≥0，
解得x≥5或x≤1．故函數(shù)f（x）在（0，1），（5，+∞）上單調(diào)遞增．  …（2分）
（Ⅱ）令f'（x）≥0，即1-

a+1

x

+

a

x2

=

x2-(a+1)x+a

x2

=

(x-a)(x-1)

x2

≥0，
當(dāng)a=1時(shí)，上式化為

(x-1)2

x2

≥0恒成立．故f（x）在（0，+∞）上單調(diào)遞增，無極值；
當(dāng)a＞1時(shí)，解得x≤1或x≥a．故f（x）在（0，1），（a，+∞）上單調(diào)遞增，在（1，a）上單調(diào)遞減．

x	（0，1）	1	（1，a）	a	（a，+∞）
f'（x）	+	0	-	0	+
f（x）	增	極大值	減	極小值	增

故f（x）在x=1處有極大值f（1）=1-a．
當(dāng)0＜a＜1時(shí)，解得x≤a或x≥1．故f（x）在（0，a），（1，+∞）上單調(diào)遞增，在（a，1）上單調(diào)遞減；

x	（0，a）	a	（a，1）	1	（1，+∞）
f'（x）	+	0	-	0	+
f（x）	增	極大值	減	極小值	增

故f（x）在x=a處有極大值f（a）=a-1-（a+1）lna．…（7分）
（Ⅲ）證明：當(dāng)a＞1時(shí)，由（2）可知f（x）在（0，1），（a，+∞）上單調(diào)遞增，在（1，a）上單調(diào)遞減．
故f（x）在（0，a）上的最大值為f（1）=1-a．
要證函數(shù)f（x）＜0在（0，a）上恒成立
只要證f（x）在（0，a）上的最大值f（1）＜0即可．
即證1-a＜0恒成立．
因?yàn)閍＞1，故1-a＜0．
由此可知，對(duì)任意a＞1，f（x）＜0在（0，a）上恒成立．…（9分）

點(diǎn)評(píng)：求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，應(yīng)該先求出函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)，令導(dǎo)函數(shù)大于0得到函數(shù)的遞增區(qū)間，令導(dǎo)函數(shù)小于0得到函數(shù)的遞減區(qū)間．還考查了利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的極值，以及學(xué)生靈活轉(zhuǎn)化題目條件的能力，是個(gè)中檔題．