Question

直線4x＋3y－12＝0與x軸、y軸分別交于點A、B．

(1)求∠BAO的平分線所在直線的方程．

(2)求O到∠BAO的平分線的距離．

(3)求過B與∠BAO的平分線垂直的直線方程．

Answer 1

答案：
解析：

　　思路解析：角平分線的性質(zhì)：在角平分線上的點到角兩邊的距離相等．在角平分線上任取一點P(x，y)，利用它到角兩邊的距離相等列出關系式，化簡求解．另外結合圖分析∠BAO的平分線只有一條，從而斜率是唯一的，觀察圖形便知斜率的正負情況．

　　解：(1)由直線4x＋3y－12＝0，令x＝0，得y＝4，令y＝0，得x＝3，即B(0，4)、A(3，0)．

　　由圖可知，∠BAO為銳角，∴∠BAO的平分線所在直線的傾斜角為鈍角，其斜率為負數(shù)．

　　設P(x，y)為∠BAO的平分線上任意一點，則點P到OA的距離為|y|，到AB的距離為．

　　由角平分線的性質(zhì)，得|y|＝．

　　∴4x＋3y－12＝5y或4x＋3y－12＝－5y，即2x－y－6＝0或x＋2y－3＝0．

　　由于斜率取負值，故∠BAO的平分線所在直線的方程為x＋2y－3＝0．

　　(2)由(1)，原點O(0，0)到∠BAO的平分線所在直線x＋2y－3＝0的距離為

　　(3)由于∠BAO所在直線的斜率為，

　　∴與其垂直的直線的斜率為2．

　　∴過點B且與其垂直的直線方程為y＝2x＋4，即2x－y＋4＝0．

　　深化升華：角平分線上的點到角兩邊的距離相等；在角一邊上的點關于角平分線的對稱點在角的另一邊上．