Question

如圖，在四棱錐E-ABCD中，底面ABCD為正方形，AE⊥平面CDE，已知AE=3，DE=4．
（Ⅰ）若F為DE的中點，求證：CD⊥AF；
（Ⅱ）求直線BE與平面ABCD所成角的正弦值．

Answer 1

考點：直線與平面所成的角,空間中直線與直線之間的位置關(guān)系

專題：空間位置關(guān)系與距離

分析：（Ⅰ）由已知得AE⊥CD，CD⊥DA，從而CD⊥平面ADE，由此能證明CD⊥AF．
（Ⅱ）過E點作EH⊥AD，垂足為H，連結(jié)BH，由已知得AE⊥CD，CD⊥平面ADE，∠EBH是直線BE與平面ABCD所成的角．由此能求出直線BE與平面ABCD所成角的正弦值．

解答： （Ⅰ）證明：∵AE⊥平面CDE，
∴AE⊥CD，
又正方形ABCD中，CD⊥DA，且DA∩AE=A，
∴CD⊥平面ADE，AF?平面ADE，則CD⊥AF．
（Ⅱ）解：過E點作EH⊥AD，垂足為H，連結(jié)BH，
∵AE⊥平面CDE，∴AE⊥CD，
又∵CD⊥AD，AE∩AD=A，∴CD⊥平面ADE，
∴CD⊥EH，CD∩AD=D，∴EH⊥平面ABCD，
∴∠EBH是直線BE與平面ABCD所成的角．
RT△ADE中，AE=3，DE=4，∴AD=5，EH=

12

5

．AB∥CD，
∴AB⊥AE，∴BE=

34

，∴sin∠EBH=

HE

BE

=

6 34

85

．
∴直線BE與平面ABCD所成角的正弦值為

6 34

85

．

點評：本題考查直線垂直的證明，考查直線與平面所成角的正弦值的求法，解題時要認(rèn)真審題，注意空間思維能力的培養(yǎng)．