如圖，兩條相交成60°角的直路EF和MN交于O，起初甲在OE上距O點3km的點A處，乙在OM上距O點1km的點B處，現(xiàn)在他們同時以4km/h的速度行走，且甲沿EF方向，乙沿NM的方向．
（1）求行走t小時后兩人之間的距離（用t表示）；
（2）當(dāng)t為何值時，甲乙兩人之間的距離最近？
分析：（1）設(shè)t小時后，他們兩人的位置分別是P、Q，則AP=4t，BQ=4t，分0≤t＜
3
4
，t=
3
4
與t＞
3
4
三種情況討論，即可求得行走t小時后兩人之間的距離；
（2）由（1）知，當(dāng)0≤t≤
3
4
時，通過配方得：PQ=
48t2-24t+7
=
48(t-
1
4
)2+4
≥2；t＞
3
4
時，PQ=
48(t-
1
4
)2+4
在（
3
4
，+∞）上為增函數(shù)，從而可求得答案．
解答：解：（1）設(shè)t小時后，他們兩人的位置分別是P、Q，則AP=4t，BQ=4t…（1分）
①當(dāng)0≤t＜
3
4
時，PQ2=（3-4t）2+（1+4t）2-2（3-4t）（1+4t）cos60°；
②當(dāng)t=
3
4
時，PQ=OB+BQ=1+
3
4
×4；
③當(dāng)t＞
3
4
時，PQ2=（4t-3）2+（1+4t）2-2（4t-3）（1+4t）cos120°；．
∴PQ=
48t2-24t+7
(0≤t≤
3
4
)
4                          (t=
3
4
)
48t2-24t+7
(t＞
3
4
)
，…（6分）
（2）由（1）知，當(dāng)0≤t≤
3
4
時，
PQ=
48t2-24t+7
=
48(t-
1
4
)2+4
≥2（當(dāng)且僅當(dāng)t=
1
4
時等號成立）…（9分）
又t＞
3
4
時，PQ=
48(t-
1
4
)2+4
在（
3
4
，+∞）上為增函數(shù)，
∴PQ＞
48(
3
4
-
1
4
)2+4
=4…（11分）
由上述推理可知，當(dāng)=
1
4
=0.25小時時，（PQ）min=2
即甲、乙兩人之間的距離最小為2km…（12分）
點評：本題考查余弦定理的應(yīng)用，考查分類討論思想與函數(shù)與方程思想的綜合運用，考查分析轉(zhuǎn)化與運算能力，屬于難題．
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（1）起初兩人的距離是多少？
（2）用包含t的式子表示t小時后兩人的距離？
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（Ⅰ）求t=1.5時，甲、乙兩人之間的距離；
（Ⅱ）求t=2時，甲、乙兩人之間的距離；
（Ⅲ） 當(dāng)t為何值時，甲、乙兩人之間的距離最短？

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