Question

已知f（x）=

1

2

x²-mlnx（m∈R）
（Ⅰ）當m=2時，求函數(shù)f（x）在[1，e]上的最大，最小值．
（Ⅱ）若函數(shù)f（x）在（

1

2

，+∞）上單調(diào)遞增，求實數(shù)m的取值范圍．

Answer 1

考點：利用導(dǎo)數(shù)求閉區(qū)間上函數(shù)的最值,利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性

專題：導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用

分析：（Ⅰ）當m=2時，f′(x)=x-

2

x

=

x2-2

x

，由此利用導(dǎo)數(shù)性質(zhì)能求出函數(shù)f（x）在[1，e]上的最大，最小值．
（Ⅱ）由f′(x)=x-

m

x

(x＞0)，函數(shù)f（x）在（

1

2

，+∞）上單調(diào)遞增，由此利用導(dǎo)數(shù)性質(zhì)能求出實數(shù)m的取值范圍．

解答： （本小題共12分） 
解：（Ⅰ）當m=2時，f′(x)=x-

2

x

=

x2-2

x

，
令f′（x）=0，得x=

2

，…（2分）
當x∈[1，

2

]時，f′（x）＜0，
當x∈[

2

，e]時，f′（x）＞0，
故x=

2

是函數(shù)f（x）在[1，e]上唯一的極小值點，…（4分）
故f（x）_min=f（

2

）=1-ln2．…（5分），
又f（1）=

1

2

，f（e）=

1

2

e2-2=

e2-4

2

＞

1

2

，
故f（x）_max=

e2-4

2

．…（7分）
（Ⅱ）f′(x)=x-

m

x

(x＞0)，…（8分）
若函數(shù)f（x）在（

1

2

，+∞）上單調(diào)遞增，
則f′（x）≥0在（

1

2

，+∞）上恒成立，
即m≤x²在（

1

2

，+∞）上恒成立，即m≤

1

4

．…（11分）
即實數(shù)m的取值范圍為(-∞，

1

4

]．…（12分）

點評：本題考查函數(shù)的最大值和最小值的求法，考查實數(shù)的取值范圍的求法，是中檔題，解題時要認真審題，注意導(dǎo)數(shù)性質(zhì)的合理運用．