Question

以F₁（0，-1），F(xiàn)₂（0，1）為焦點(diǎn)的橢圓C過點(diǎn)P(

2

2

，1)．
（Ⅰ）求橢圓C的方程；
（Ⅱ）過點(diǎn)S(-

1

3

，0)的動直線l交橢圓C于A、B兩點(diǎn)，試問：在坐標(biāo)平面上是否存在一個定點(diǎn)T，使得無論l如何轉(zhuǎn)動，以AB為直徑的圓恒過點(diǎn)T？若存在，求出點(diǎn)T的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由．

Answer 1

分析：（I）橢圓過點(diǎn)P(

2

2

，1)，則由橢圓的定義知2a=|PF₁|+|PF₂|=

( 2 2 )2+22

+

( 2 2 )2+02

=2

2

，由此可求出橢圓C的方程．
（II）解法一：若直線l與x軸重合，則以AB為直徑的圓是x²+y²=1；若直線l垂直于x軸時，則以AB為直徑的圓是(x+

1

3

)2+y2=

16

9

由

(x+ 1 3 )2+y2= 16 9 x2+y2=1

，由此可求出點(diǎn)T的坐標(biāo)．
解法二：如果存在定點(diǎn)T（u，v）滿足條件．若直線l垂直于x軸時，則以AB為直徑的圓經(jīng)過點(diǎn)（1，0）；若直線l不垂直于x軸時，可設(shè)直線l：y=k(x+

1

3

)．由

x2+ y2 2 =1 y=k(x+ 1 3 )

，整理得(k2+2)x2+

2

3

k2x+

1

9

k2-2=0，然后利用根與系數(shù)的關(guān)系進(jìn)行求解．

解答：解：（I）設(shè)橢圓方程為

y2

a2

+

x2

b2

=1（a＞b＞0），∵橢圓過點(diǎn)P(

2

2

，1)，則由橢圓的定義知
2a=|PF₁|+|PF₂|=

( 2 2 )2+22

+

( 2 2 )2+02

=2

2

所以，a=

2

，b²=a²-c²=1，
橢圓C的方程為x2+

y2

2

=1．
（II）解法一：
若直線l與x軸重合，則以AB為直徑的圓是x²+y²=1；
若直線l垂直于x軸時，則以AB為直徑的圓是(x+

1

3

)2+y2=

16

9

由

(x+ 1 3 )2+y2= 16 9 x2+y2=1

解得

x=1 y=0

，所以兩圓相切于點(diǎn)（1，0）．
因此，如果存在點(diǎn)T滿足條件，則該點(diǎn)只能是（1，0）
下面證明T（1，0）就是所求的點(diǎn)．
若直線l垂直于x軸時，
則以AB為直徑的圓經(jīng)過點(diǎn)（1，0）；
若直線l不垂直于x軸時，可設(shè)直線l：y=k(x+

1

3

)
由

x2+ y2 2 =1 y=k(x+ 1 3 )

，整理得(k2+2)x2+

2

3

k2x+

1

9

k2-2=0
記A（x₁，y₁）、B（x₂，y₂），則

x1+x2= -2k2 3(k2+2) x1x2= k2-18 9(k2+2)

又因?yàn)?span dealflag="1" class="MathJye" mathtag="math" style="whiteSpace:nowrap;wordSpacing:normal;wordWrap:normal">

TA

=(x1-1，y1)，

TB

=(x2-1，y2)，
則

TA

•

TB

=(x1-1，y1)•(x2-1，y2)=（x₁-1）（x₂-1）+y₁y₂
=(x1-1)(x2-1)+k2(x1+

1

3

)(x2+

1

3

)=(k2+1)x1x2+(

1

3

k2-1)(x1+x2)+

1

9

k2+1
=(k2+1)•

k2-18

9(k2+2)

+(

1

3

k2-1)•

-2k2

3(k2+2)

+

1

9

k2+1=0
所以，TA⊥TB，即以AB為直徑的圓恒過定點(diǎn)T（1，0），
故平面上存在一個定點(diǎn)T（1，0）滿足題設(shè)條件
解法二：（I）由已知c=1，設(shè)橢圓方程為

y2

a2

+

x2

a2-1

=1 (a＞1)．
因?yàn)辄c(diǎn)P在橢圓上，則

1

a2

+

1 2

a2-1

=1 (a＞1)，解得a²=2，
所以橢圓方程為x2+

y2

2

=1
（II）如果存在定點(diǎn)T（u，v）滿足條件．
若直線l垂直于x軸時，
則以AB為直徑的圓經(jīng)過點(diǎn)（1，0）；
若直線l不垂直于x軸時，可設(shè)直線l：y=k(x+

1

3

)．
由

x2+ y2 2 =1 y=k(x+ 1 3 )

，整理得(k2+2)x2+

2

3

k2x+

1

9

k2-2=0
記A（x₁，y₁）、B（x₂，y₂），則

x1+x2= -2k2 3(k2+2) x1x2= k2-18 9(k2+2)

∵又因?yàn)?span dealflag="1" class="MathJye" mathtag="math" style="whiteSpace:nowrap;wordSpacing:normal;wordWrap:normal">

TA

=(x1-u，y1-v)，

TB

=(x2-u，y2-v)，
則

TA

•

TB

=(x1-u，y1-v)•(x2-u，y2-v)=（x₁-u）（x₂-u）+（y₁-v）（y₂-v）
=(x1-u)(x2-u)+(kx1+

1

3

k-v)(kx2+

1

3

k-v)
=(k2+1)x1x2+(

1

3

k2-u-kv)(x1+x2)+

1

9

k2-

2

3

kv+u2+v2
=(k2+1)•

k2-18

9(k2+2)

+(

1

3

k2-u-kv)•

-2k2

3(k2+2)

+

1

9

k2-

2

3

kv+u2+v2
=

(3u2+2u+3v2-5)k2-4vk+6u2+6v2-6

3(k2+2)

當(dāng)且僅當(dāng)

TA

•

TB

=0恒成立時，以AB為直徑的圓恒過點(diǎn)T（u，v）．

TA

•

TB

=0恒成立等價于

3u2+2u+3v2-5=0 -4v=0 6u2+6v2-6=0

，
解得u=1，v=0
所以當(dāng)u=1，v=0時，無論直線l如何轉(zhuǎn)動，以AB為直徑的圓恒過定點(diǎn)T（1，0）．
故平面上存在一個定點(diǎn)T（1，0）滿足題目條件．

點(diǎn)評：本題考查橢圓方程的求法和直線與橢圓位置關(guān)系，解題要注意挖掘隱含條件，合理選用公式．