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已知A（1，0），B（-1，0），P是平面上的一個動點，且滿足|
PA
|•|
AB
|=
PB
•
AB
，
（1）求點P的軌跡方程；
（2）若直線y=x+m（m≠0）與點P的軌跡交于M，N兩點，且
OM
⊥
ON
，求m．
考點：軌跡方程,數量積判斷兩個平面向量的垂直關系
專題：綜合題,圓錐曲線的定義、性質與方程
分析：（1）利用向量的數量積公式，即可求點P的軌跡方程；
（2）直線y=x+m代入拋物線方程，利用
OM
⊥
ON
，可得x1x2+y1y2=0，即可求m．
解答： 解：（1）設P（x，y），則
∵A（1，0），B（-1，0），|
PA
|•|
AB
|=
PB
•
AB
，
∴2
(x-1)2+y2
=2（x+1），即y2=4x；
（2）設M（x1，y1），N（x2，y2），
則直線y=x+m代入拋物線方程可得x2+（2m-4）x+m2=0，則x1+x2=4-2m，x1x2=m2，
∵△＞0，∴m＜1，
∵
OM
⊥
ON
，
∴x1x2+y1y2=x1x2+（x1+m）（x2+m）=m2+4m=0，
∴m=0或-4，
∵m＜1且m≠0，
∴m=-4．
點評：本題考查拋物線方程，考查直線與拋物線的位置關系，考查向量知識的運用，屬于中檔題．
練習冊系列答案
相關習題

科目：高中數學 來源： 題型：

（1）已知實數x，y滿足：|x+y|＜
1
3
，|2x-y|＜
1
6
，求證：|y|＜
5
18
；
（2）設a、b是非負實數，求證：a3+b3≥
ab
（a2+b2）．

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科目：高中數學 來源： 題型：

設a∈R，函數f（x）=
4
3
x3-9x+2a+1．
（Ⅰ）求f（x）的單調區(qū)間；
（Ⅱ）當x∈[-2，0]時，不等式f（x）≤0恒成立，求a的取值范圍．

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科目：高中數學 來源： 題型：

已知函數f（x）=x3-3x2+3．
（Ⅰ）求過點（3，3）與曲線f（x）相切的直線方程；
（Ⅱ）若函數g（x）=f（x）+
3
2
kx2-6kx-
13
2
（k＞0）有且只有一個零點，求實數k的取值范圍．

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科目：高中數學 來源： 題型：

已知函數f（x）=lnx（x＞0）．
（1）求函數g（x）=f（x）-x+1的極值；
（2）求函數h（x）=f（x）+|x-a|（a為實常數）的單調區(qū)間；
（3）若不等式（x2-1）f（x）≥k（x-1）2對一切正實數x恒成立，求實數k的取值范圍．

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科目：高中數學 來源： 題型：

已知橢圓C的方程是
x2
a2
+
y2
b2
=1，（a＞b＞0），傾斜角為45°的直線l過橢圓的右焦點且交橢圓于A（x1，y1），B（x2，y2）兩點．
（1）若橢圓的左頂點為（-2，0），離心率e=
1
2
，求橢圓C的方程；
（2）設向量
OP
=λ（
OA
+
OB
）（λ＞0），若點P在橢圓C上，求λ的取值范圍．

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科目：高中數學 來源： 題型：

已知數列{an}滿足
an+1+an-1
an+1-an+1
=n（n∈N*），且a2=6．
（1）求數列{an}的通項公式；
（2）設bn=
an
n+c
（n∈N*，c為非零常數），若數列{bn}是等差數列，記cn=
bn
2n
，Sn=c1+c2+…+cn，求Sn．

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科目：高中數學 來源： 題型：

如圖，長方體ABCD-A1B1C1D1中，AB=AA1=1，AD=2，E是BC的中點
（1）求證：平面A1AE⊥D1DE平面；
（2）求三棱錐A-D1DE的體積；
（3）求點A1到平面D1DE的距離．

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科目：高中數學 來源： 題型：

已知函數f（x）=m-|x-2|，m∈R，且f（x+2）≥0的解集為[-1，1]．
（Ⅰ）求m的值；
（Ⅱ）若a，b，c∈R+，且
1
a
+
1
2b
+
1
3c
=m，求a+2b+3c的最小值．

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