Question

已知函數(shù)f(x)=  

x+1 ，  x ≤0， log2x ，x＞0 ，

則函數(shù)y=f[f（x）]+1的零點個數(shù)是

4

 個．

Answer 1

分析：當x≤0時，f（x）=x+1．當-1＜x≤0時，f（x）=x+1＞0，y=f[f（x）]+1=log₂（x+1）+1=0，x=-

1

2

；當x≤-1時，f（x）=x+1≤0，y=f[f（x）]+1=f（x）+1+1=x+3=0，x=-3；當x＞0時，f（x）=log₂x，y=f[f（x）]+1=log₂[f（x）]+1．當0＜x＜1時，f（x）=log₂x＜0，y=f[f（x）]+1=log₂[f（x）]+1=log₂（log₂x+1）+1=0，x=

2

2

；當x＞1時，f（x）=log₂x＞0，y=f[f（x）]+1=log₂（log₂x）+1=0，x=

2

．由此能求出y=f[f（x）]+1的零點．

解答：解：當x≤0時，f（x）=x+1，
當-1＜x≤0時，f（x）=x+1＞0
y=f[f（x）]+1=log₂（x+1）+1=0，
x+1=

1

2

，x=-

1

2

．
當x≤-1時，f（x）=x+1≤0，
y=f[f（x）]+1=f（x）+1+1=x+3=0，
∴x=-3．
當x＞0時，f（x）=log₂x，
y=f[f（x）]+1=log₂[f（x）]+1，
當0＜x＜1時，f（x）=log₂x＜0，
y=f[f（x）]+1=log₂[f（x）]+1=log₂（log₂x+1）+1=0，
∴log2x+1=

1

2

，x=

2

2

；
當x＞1時，f（x）=log₂x＞0，
∴y=f[f（x）]+1=log₂（log₂x）+1=0，
∴log2x=

1

2

，x=

2

．
綜上所述，y=f[f（x）]+1的零點是x=-3，或x=-

1

2

，或x=

2

2

，或x=

2

．
故答案為：4．

點評：本題考查函數(shù)的零點個數(shù)的求法，是基礎(chǔ)題，易錯點是分類不全，容量出現(xiàn)丟解．解題時要注意分段函數(shù)的性質(zhì)和應(yīng)用，注意分類討論法的合理運用．