Question

下列命題中，真命題是（　　）

• A、?x∈R，sin2

  x

  2

  +cos2

  x

  2

  =

  1

  2

• B、?x∈（0，π），sinx＞cosx
• C、?x∈R，x²+x=-1
• D、?x∈（0，+∞），e^x＞1+x

Answer 1

分析：根據(jù)同角三角函數(shù)的平方關(guān)系，我們可以判斷A的正誤；
正弦函數(shù)和余弦函數(shù)的圖象與性質(zhì)，我們可以判斷B的真假；
解一元二次不等式，可以判斷C的正誤；
根據(jù)指數(shù)函數(shù)y=e^x和y=1+x圖象特征，我們可判斷D的對錯(cuò)，進(jìn)而得到答案．

解答：解：對于A，由同角三角函數(shù)和平方關(guān)系，我們知道?x∈R，sin2

x

2

+cos2

x

2

=1，所以A為假命題；
    對于B，取特殊值：當(dāng)時(shí)x=

π

4

時(shí)，sinx=cosx=

2

2

，所以B為假命題；
    對于C，一元二次方程根的判別式△=1-4=-3＜0，所以原方程沒有實(shí)數(shù)根，所以C為假命題；
    對于D，構(gòu)造函數(shù)y=e^x-x，x∈（0，+∞）
   求出導(dǎo)數(shù)：y^/=e^x-1，可得當(dāng)時(shí)y^/＜0，函數(shù)為減函數(shù)，
     當(dāng)x∈（1，+∞）時(shí)y^/＞0，函數(shù)為增函數(shù)，
     所以當(dāng)x=1時(shí)函數(shù)的最小值為e-1，即?x∈（0，+∞），e^x-x≥e-1＞1，
     移項(xiàng)，得e^x＞1+x，因此“?x∈（0，+∞），e^x＞1+x”是真命題
     故選D

點(diǎn)評：本題考查的知識(shí)點(diǎn)是命題的真假判斷與應(yīng)用，其中利用函數(shù)的性質(zhì)，逐一分析四個(gè)結(jié)論的正誤是解答本題的關(guān)鍵．