【題目】已知函數(shù),
.
(1)當時,求
在
處的切線方程;
(2)討論的單調(diào)性;
(3)若有兩個零點,求
的取值范圍.
【答案】(1)(2)答案不唯一,具體見解析(3)
【解析】
(1)先求出,再寫出切線方程;(2)先求出
,再通過對
分類討論的單調(diào)性;(3)對
分類討論,結(jié)合函數(shù)的圖象求出
的取值范圍.
(1)當時,
,所以
,
,
所以在
處的切線方程為
.
(2)
①時,
,所以
,得
;
,得
,
所以在
單調(diào)遞減,在
單調(diào)遞增:
②時,
,解得
或
當時,
恒成立,所以
在
單調(diào)遞增;
當,則
,故當
時,
;
時,
,所以
在
單調(diào)遞增,
在
單調(diào)遞減.
當,則
,故當
時,
;
時,
,所以
在
單調(diào)遞增,
在
單調(diào)遞減.
(3)①設(shè),由(2)知,
在
單調(diào)遞減,在
單調(diào)遞增.
又,
,所以
在
有一解:取
且
,
則,所以
在
有一解,
所以有兩個零點;
②設(shè),
,
只有一個零點;
③設(shè),若
,
由(2)知,在
單調(diào)遞增,又當
時,
,
故不存在兩個零點;
若,由(2)知,
在
單調(diào)遞增,在
單調(diào)遞減,又當
時,
,
故不存在兩個零點;
科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】“紋樣”是中國藝術(shù)寶庫的瑰寶,“火紋”是常見的一種傳統(tǒng)紋樣,為了測算某火紋紋樣(如圖陰影部分所示)的面積,作一個邊長為3的正方形將其包含在內(nèi),并向該正方形內(nèi)隨機投擲2000個點,己知恰有800個點落在陰影部分,據(jù)此可估計陰影部分的面積是
A.B.
C.
D.
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】已知函數(shù),
(其中
是常數(shù)).
(Ⅰ)求過點與曲線
相切的直線方程;
(Ⅱ)是否存在的實數(shù),使得只有唯一的正數(shù)
,當
時不等式
恒成立,若這樣的實數(shù)
存在,試求
,
的值;若不存在,請說明理由.
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】已知橢圓:
的離心率為
,以橢圓長、短軸四個端點為頂點為四邊形的面積為
.
(Ⅰ)求橢圓的方程;
(Ⅱ)如圖所示,記橢圓的左、右頂點分別為、
,當動點
在定直線
上運動時,直線
分別交橢圓于兩點
、
,求四邊形
面積的最大值.
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】已知橢圓的長軸長為4,直線
被橢圓
截得的線段長為
.
(1)求橢圓的標準方程;
(2)過橢圓的右頂點作互相垂直的兩條直線
分別交橢圓
于
兩點(點
不同于橢圓
的右頂點),證明:直線
過定點
.
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】某高校共有15000人,其中男生10500人,女生4500人,為調(diào)查該校學生每周平均體育運動時間的情況,采用分層抽樣的方法,收集300位學生每周平均體育運動時間的樣本數(shù)據(jù)(單位:小時)
(1)應(yīng)收集多少位女生樣本數(shù)據(jù)?
(2)根據(jù)這300個樣本數(shù)據(jù),得到學生每周平均體育運動時間的頻率分布直方圖(如圖所示),其中樣本數(shù)據(jù)分組區(qū)間為:.估計該校學生每周平均體育運動時間超過4個小時的概率.
(3)在樣本數(shù)據(jù)中,有60位女生的每周平均體育運動時間超過4個小時.請完成每周平均體育運動時間與性別的列聯(lián)表,并判斷是否有的把握認為“該校學生的每周平均體育運動時間與性別有關(guān)”.
附:
0.10 | 0.05 | 0.010 | 0.005 | |
2.706 | 3.841 | 6.635 | 7.879 |
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】已知函數(shù)(
是自然對數(shù)的底數(shù)).
(Ⅰ)討論極值點的個數(shù);
(Ⅱ)若是
的一個極值點,且
,證明:
.
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】已知函數(shù)(
為實數(shù)常數(shù))
(1)當時,求函數(shù)
在
上的單調(diào)區(qū)間;
(2)當時,
成立,求證:
.
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】已知函數(shù).
(1)討論在
上的零點個數(shù);
(2)當時,若存在
,使
,求實數(shù)
的取值范圍.(
為自然對數(shù)的底數(shù),其值為2.71828……)
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