Question

已知f（x）是定義在[-1，1]上的奇函數且f（1）=1，若a、b∈[-1，1]，a+b≠0，有

f(a)+f(b)

a+b

＞0成立．
（1）判斷函數f（x）在[-1，1]上是增函數還是減函數，并加以證明．
（2）解不等式f（x+

1

2

）＞f（2x-

1

2

）．
（3）若f（x）≤m²-2am+1對所有x∈[-1，1]、a∈[-1，1]恒成立，求實數m的取值范圍．

Answer 1

考點：函數奇偶性的性質,奇偶性與單調性的綜合

專題：函數的性質及應用

分析：（1）設a、b∈[-1，1]，且a＜b，結合a、b∈[-1，1]，a+b≠0，有

f(a)+f(b)

a+b

＞0成立，可判斷出f（a）＜f（b），進而得到f（x）在[-1，1]上是增函數；
（2）根據（1）中結論將原不等式轉化為-1≤2x-

1

2

＜x+

1

2

≤1，解得答案；
（3）若f（x）≤m²-2am+1對所有x∈[-1，1]、a∈[-1，1]恒成立，則m²-2am+1≥1，對a∈[-1，1]恒成立，進而構造函數g（a）=-2ma+m²，可得：

g(-1)=m2+2m≥0 g(1)=m2-2m≥0

，解得實數m的取值范圍．

解答： 解：（1）設a、b∈[-1，1]，且a＜b，
則a-b＜0，

f(a)+f(-b)

a-b

＞0
∴f（a）-f（b）=f（a）+f（-b）=

f(a)+f(-b)

a-b

（a-b）＜0，
可知f（a）＜f（b），
所以f（x）在[-1，1]上是增函數．…（4分）
（2）由f（x）在[-1，1]上是增函數知：
不等式f（x+

1

2

）＞f（2x-

1

2

）可化為：-1≤2x-

1

2

＜x+

1

2

≤1
解得-

1

4

≤x≤

1

2

，
故不等式的解集為[-

1

4

，

1

2

]…（8分）
（3）因為f（x）在[-1，1]上是增函數，
所以f（x）≤f（1）=1，即1是f（x）的最大值．
若f（x）≤m²-2am+1對所有x∈[-1，1]、a∈[-1，1]恒成立，
則有m²-2am+1≥1，對a∈[-1，1]恒成立，
即m²-2am≥0恒成立．
令g（a）=-2ma+m²，它的圖象是一條線段，
那么

g(-1)=m2+2m≥0 g(1)=m2-2m≥0

，
解得：m∈（-∞，-2]∪{0}∪[2，+∞）．…（12分）

點評：本題考查的知識點是函數奇偶性的性質，函數的單調性，利用單調性解不等式，恒成立問題，是函數圖象和性質與不等式的綜合應用，難度中檔．