Question

已知點P是雙曲線右支上一點，F(xiàn)₁、F₂分別是雙曲線的左、右焦點．I為△PF₁F₂內(nèi)心，若，則雙曲線的離心率為________．

Answer 1

2
分析：設(shè)圓I與△PF₁F₂的三邊F₁F₂、PF₁、PF₂分別相切于點E、F、G，連接IE、IF、IG，可得△IF₁F₂，△IPF₁，△IPF₂可看作三個高相等且均為圓I半徑r的三角形．利用三角形面積公式，代入已知式，化簡可得|PF₁|-|PF₂|=|F₁F₂|，再結(jié)合雙曲線的定義與離心率的公式，可求出此雙曲線的離心率．
解答：解：如圖，設(shè)圓I與△PF₁F₂的三邊F₁F₂、PF₁、PF₂分別相切于點E、F、G，連接IE、IF、IG，
則IE⊥F₁F₂，IF⊥PF₁，IG⊥PF₂，它們分別是
△IF₁F₂，△IPF₁，△IPF₂的高，
∴=×|PF₁|×|IF|=|PF₁|，
=×|PF₂|×|IG|=|PF₂|
=×|F₁F₂|×|IE|=|F₁F₂|，其中r是△PF₁F₂的內(nèi)切圓的半徑．
∵
∴|PF₁|=|PF₂|+|F₁F₂|
兩邊約去得：|PF₁|=|PF₂|+|F₁F₂|
∴|PF₁|-|PF₂|=|F₁F₂|
根據(jù)雙曲線定義，得|PF₁|-|PF₂|=2a，|F₁F₂|=2c
∴2a=c?離心率為e==2
故答案為：2．
點評：本題將三角形的內(nèi)切圓放入到雙曲線當(dāng)中，用來求雙曲線的離心率，著重考查了雙曲線的基本性質(zhì)、三角形內(nèi)切圓的性質(zhì)和面積計算公式等知識點，屬于中檔題．