Question

9、已知數列{a_n}中，對任意n∈N^*都有a_n+2=a_n+1-a_n，若該數列前63項和為4000，前125項和為1000，則該數列前2011項和為（　�。�

A、0

B、1000

C、3000

D、5000

Answer 1

分析：根據遞推公式a_n+2=a_n+1-a_n可知，此數列為周期為T=6的周期數列，并且每6項的和為0，再根據前63項的和，前125項的和，計算出a₁即可知前2011項的和．

解答：解：由題意知：
∵a_n+2=a_n+1-a_{n 令n=n+1得}
∴a_n+3=a_n+2-a_n+=a_n+1-a_n-a_n+1=-a_n
再令n=n+3得：a_n+6=-a_n+3=a_n 
所以 T=6
 又∵前6項分別為：a₁，a₂，a₂-a₁，-a₁，-a₂，a₁-a₂   
∴每6項和為0，即s₆=0
又∵s₆₃=a₁+a₂+a₃=2a₂=4000
∴a₂=2000
又∵s₁₂₅=a₁+a₂+a₃+a₄+a₅=a₂-a₁=1000
∴a₁=1000
又∵s₂₀₁₁=a₁
所以s₂₀₁₁=1000
故選B．

點評：本題必須根據遞推公式，先觀察出此數列為周期數列，求出a₁，然后才能求出s₂₀₁₁的和，對學生來說入手比較難．