Question

已知數(shù)列{a_n} 的前n項(xiàng)和為S_n，且S_n+a_n=．
（1）證明：數(shù)列{a_n-n}為等比數(shù)列；
（2）設(shè)b_n=S_n+，T_n=，求證：T_n＜2．

Answer 1

【答案】分析：（1）由題意知當(dāng)n=1時(shí)，2⇒a₁=，a₁-1=，n≥2時(shí)a_n=S_n-S_n-1，得2a_n-a_n-1=n+1，即可證明結(jié)論；
（2）先由（1）求得數(shù)列{b_n}的通項(xiàng)公式并整理成b_n=，從而，然后利用列項(xiàng)求和求出Tn=2（1-），求出數(shù)列{b_n}的前n項(xiàng)和 T_n＜2．
解答：證明：（1）當(dāng)n=1時(shí)，
2⇒a₁=，a₁-1=
當(dāng)n≥2時(shí)，S_n+a_n=    ①
S_n-1+a_n-1=   ②
①-②得2a_n-a_n-1=n+1
∴2a_n=a_n-1+（n+1）
即2a_n-2n=a_n-1-（n-1），2（a_n-n）=a_n-1-（n-1），
即
∴數(shù)列數(shù)列{a_n-n}是以為首項(xiàng)，為公比的等比數(shù)列．
（2）由（1）得a_n-n=
∴a_n=n+
∴S_n=-n-=-
∴b_n=S_n+=
∴=
∴T_n=2（1-）

=2（1-）＜2．
點(diǎn)評：本題考查了等比數(shù)列的判定，此題采取裂項(xiàng)的方法求和，考查分析解決問題的能力和運(yùn)算能力，屬于難題．