Question

己知數(shù)列{a_n}滿足a₁=1，a_2n-a_2n-1=2，a_2n+1-a_2n=3ⁿ（n∈N^*）．
（I）計算：（a₃-a₁）+（a₅-a₃），并求a₅；
（Ⅱ）求a_2n-1（用含n的式子表示）；
（Ⅲ）記數(shù)列{a_n}的前n項和為S_n，求S_n．

Answer 1

考點：數(shù)列的求和,數(shù)列遞推式

專題：等差數(shù)列與等比數(shù)列

分析：（Ⅰ）對n賦值求得：a₃-a₁和a₅-a₃的值，即得結論；
（Ⅱ）由題意得a2n+1-a2n-1=3n+2，利用累加法求和即得結論；
（Ⅲ）設bn=a2n-1+a2n=3n+4n-3，對n分奇偶分類討論，利用分組求和，即得結論．

解答： 解：（Ⅰ）由題設可得，a3-a1=(a2-a1)+(a3-a2)=2+31=5
同理a5-a3=2+32=11所以（a₃-a₁）+（a₅-a₃）=16，…（2分）
從而，有a₅-a₁=16，所以，a₅=17；        …（3分）
（Ⅱ）由題設知，a2n+1-a2n-1=3n+2，…（4分）
所以，a2n-1-a2n-3=3n-1+2a2n-3-a2n-5=3n-2+2
…a5-a3=32+2a3-a1=31+2…（6分）
將上述各式兩邊分別取和，得：a2n-1-a1=(31+32+…+3n-1)+2(n-1)，
所以a2n-1=

3n

2

+2n-

5

2

．…（7分）
（Ⅲ）由（Ⅱ），可得a2n=

3n

2

+2n-

1

2

，所以a2n-1+a2n=3n+4n-3…（8分）
1°當n為偶數(shù)時，S_n=（a₁+a₂）+（a₃+a₄）+…（a_n-1+a_n）=

3 n+2 2

2

+

n2

2

-

n

2

-

3

2

，…（10分）
2°當n為奇數(shù)時，若n=1，則S₁=a₁=1．
若n≥3，則S_n=（a₁+a₂）+（a₃+a₄）+…（a_n-2+a_n-1）+a_n
=(31+32+…+3

n-1

2

)+4(1+2+…+

n-1

2

)-

3(n-1)

2

+(

3 n+1 2

2

+n-

3

2

)=3

n+1

2

+

n2

2

-

n

2

-2．
綜上可得Sn=

= 3 n+2 2 2 + n2 2 - n 2 - 3 2 (n為偶數(shù)) 3 n+1 2 + n2 2 - n 2 -2 (n為奇數(shù))

…（12分）
（方法二）由（Ⅱ），可得a2n=

3n

2

+2n-

1

2

，
不妨記bn=a2n-1+a2n=3n+4n-3…（8分）
1°當n為偶數(shù)時，令n=2m，
S_n=（a₁+a₂）+（a₃+a₄）+…+（a_n-1+a_n）=b₁+b₂+…+b_m=（3¹+3²+…+3^m）+4（1+2+…+m）-3m=

3m+1

2

+2m2-m-

3

2

，
即Sn=

3 n+2 2

2

+

n2

2

-

n

2

-

3

2

．…（10分）
2°當n為奇數(shù)時，若n=1，則S₁=a₁=1．
若n≥3，令n=2m-1，
S_n=（a₁+a₂）+（a₃+a₄）+…+（a_n-2+a_n-1）+a_n=b₁+b₂+…+b_m-1+a_2m-1=

3m

2

+2(m-1)2-m-

1

2

+

3m

2

+2m-

5

2

=3^m+2m²-3m-1，
即Sn=3

n+1

2

+

n2

2

-

n

2

-2．
綜上可得Sn=

3 n+2 2 2 + n2 2 - n 2 - 3 2 (n為偶數(shù)) 3 n+1 2 + n2 2 - n 2 -2 (n為奇數(shù))

…（12分）

點評：本題主要考查累加法求數(shù)列的通項公式及分組法對數(shù)列求和，考查等差數(shù)列和等比數(shù)列的前n項和公式及學生的運算能力，考查分類討論思想的運用，屬難題．