Question

已知f（x）=sin²wx+sin2wx-（x∈R，w＞0），若f（x）的最小正周期為2π．
（1）求f（x）的表達(dá)式和f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間；
（2）求f（x）在區(qū)間[-，]上的最大值和最小值．

Answer 1

解：（1）由已知f（x）=sin²wx+sin2wx-
=（1-cos2wx）+sin2wx-
=sin2wx-cos2wx
=sin（2wx-）．
又由f（x）的周期為2π，則2π=?2w=1?w=，
?f（x）=sin（x-），
2kπ-≤x-≤2kπ+（k∈Z）?2kπ-≤x≤2kπ+（k∈Z），
即f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間為
[2kπ-，2kπ+]（k∈Z）．
（2）由x∈[-，]?-≤x≤
?--≤x-≤-?-≤x-≤
?sin（-）≤sin（x-）≤sin．∴-≤sin（x-）≤1．
故f（x）在區(qū)間[-，]的最大值和最小值分別為1和-．
分析：（1）利用二倍角的余弦公式，兩角差的正弦，以及三角函數(shù)的周期化簡(jiǎn)f（x）的表達(dá)式，根據(jù)正弦函數(shù)的單調(diào)性，求f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間；
（2）x∈[-，]，推出x-的范圍，求sin（x-）的范圍，然后求f（x）在區(qū)間[-，]上的最大值和最小值．
點(diǎn)評(píng)：本題考查三角函數(shù)的周期性及其求法，正弦函數(shù)的單調(diào)性，三角函數(shù)的最值，考查計(jì)算能力，是中檔題．