Question

已知f（x）=x³+ax²-a²x+2．
（Ⅰ）若a=1，求曲線y=f（x）在點（1，f（1））處的切線方程；
（Ⅱ）若a≠0，求函數(shù)f（x）的單調(diào)區(qū)間．

Answer 1

考點：利用導數(shù)研究曲線上某點切線方程,利用導數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性

專題：綜合題,導數(shù)的綜合應用

分析：（Ⅰ）欲求在點（1，f（1））處的切線方程，只須求出其斜率的值即可，故先利用導數(shù)求出在x=1處的導函數(shù)值，再結合導數(shù)的幾何意義即可求出切線的斜率，從而問題解決；
（Ⅱ）分類討論，利用導數(shù)的正負，可得函數(shù)f（x）的單調(diào)區(qū)間．

解答： 解：（Ⅰ）∵a=1，
∴f（x）=x³+x²-x+2，
∴f'（x）=3x²+2x-1…（2分）
∴k=f'（1）=4，
又f（1）=3，
∴切點坐標為（1，3），
∴所求切線方程為y-3=4（x-1），即4x-y-1=0．…（5分）
（Ⅱ）f'（x）=3x²+2ax-a²=（x+a）（3x-a）
由f'（x）=0得x=-a或x=

a

3

…（7分）
（1）當a＞0時，
由f'（x）＜0，得-a＜x＜

a

3

．
由f'（x）＞0，得x＜-a或x＞

a

3

-------------------------（9分）
此時f（x）的單調(diào)遞減區(qū)間為(-a，

a

3

)，單調(diào)遞增區(qū)間為（-∞，-a）和(

a

3

，+∞)．…（10分）
（2）當a＜0時，
由f'（x）＜0，得

a

3

＜x＜-a．
由f'（x）＞0，得x＜

a

3

或x＞-a-------------------------------（12分）
此時f（x）的單調(diào)遞減區(qū)間為(

a

3

，-a)，單調(diào)遞增區(qū)間為(-∞，

a

3

)和（-a，+∞）．------（13分）
綜上：當a＞0時，f（x）的單調(diào)遞減區(qū)間為(-a，

a

3

)，單調(diào)遞增區(qū)間為（-∞，-a），(

a

3

，+∞)；
當a＜0時，f（x）的單調(diào)遞減區(qū)間為(

a

3

，-a)單調(diào)遞增區(qū)間為(-∞，

a

3

)，（-a，+∞）---（14分）

點評：本小題主要考查導數(shù)的幾何意義、利用導數(shù)研究曲線上某點切線方程、考查函數(shù)的單調(diào)性等基礎知識，考查運算求解能力．屬于中檔題．