Question

15．已知函數(shù)f（x）=mx²+（m-3）x+1
（1）若f（x）為偶函數(shù)，求函數(shù)f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間；
（2）若f（x）的圖象與x軸的交點(diǎn)至少有一個(gè)在原點(diǎn)右側(cè)，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）首先對(duì)m分類(lèi)討論，求出函數(shù)解析式，根據(jù)解析式求出單調(diào)區(qū)間；
（2）當(dāng)m=0時(shí)，檢驗(yàn)是否符合要求；當(dāng)m≠0，討論函數(shù)零點(diǎn)在原點(diǎn)的兩側(cè)各有一個(gè)和都在原點(diǎn)的右側(cè)．

解答 解：（1）由題意知，函數(shù)f（x）的定義域?yàn)镽．
當(dāng)m=0時(shí)，f（x）=-3x+1，f（-x）≠f（x），f（x）不為偶函數(shù)，故舍去．
當(dāng)m≠0時(shí)，f（x）為偶函數(shù)，故可有：f（-1）=f（1），帶入解析式后：m-3=-m+3⇒a=3；
∴f（x）=3x²+1
所以，f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間為：（0，+∞）．
（2）當(dāng) m=0時(shí)，函數(shù)f（x）=-3x+1與x軸交點(diǎn)為x₀（$\frac{1}{3}$，0），
故x₀點(diǎn)在原點(diǎn)右側(cè)，滿(mǎn)足題意．
當(dāng)m≠0時(shí)，設(shè)函數(shù)的零點(diǎn)為x₁，x₂
（Ⅰ）原點(diǎn)的兩側(cè)各有一個(gè)，則
$\left\{\begin{array}{l}{△=（m-3）^{2}-4m＞0}\\{{x}_{1}{x}_{2}=\frac{1}{m}＜0}\end{array}\right.$⇒m＜0；
（Ⅱ）都在原點(diǎn)的右側(cè)，則
$\left\{\begin{array}{l}{△=（m-3）^{2}-4m≥0}\\{{x}_{1}+{x}_{2}=\frac{3-m}{m}＞0}\\{{x}_{1}{x}_{2}=\frac{1}{m}＞0}\end{array}\right.$⇒0＜m≤1；
綜上：a的取值范圍為：（-∞，1]

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查了函數(shù)的基本性質(zhì)、單調(diào)性，以及一元二次函數(shù)零點(diǎn)位置討論，屬中等題．