Question

18、設a∈R，函數f（x）=（x²-ax-a）e^x．
（Ⅰ）若a=1，求曲線y=f（x）在點（0，f（0））處的切線方程；
（Ⅱ）求函數f（x）在[-2，2]上的最小值．

Answer 1

分析：（Ⅰ）先求出函數的導函數令x的值為0代入其中得到f'（0）=-2即切線方程的斜率為-2，而f（0）=-a，當a為1時f（0）=-1，即求曲線y=f（x）在點（0，-1）處的切線方程寫出即可；
（Ⅱ）求出函數的導函數并令其為零求出函數的駐點，在[-2，2]內討論函數的增減性求出函數的極值，判斷大小求出函數的最小值即可．

解答：解：（Ⅰ）f'（x）=（2x-a）e^x+（x²-ax-a）e^x=（x+2）（x-a）e^x．
當a=1時，f'（0）=-2，f（0）=-1，
所以曲線y=f（x）在點（0，f（0））處的切線方程為y-（-1）=-2x，
即2x+y+1=0．
（Ⅱ）令f'（x）=0，解得x=-2或x=a．
①a≥2，則當x∈（-2，2）時，f'（x）＜0，函數f（x）在（-2，2）上單調遞減，
所以，當x=2時，函數f（x）取得最小值，最小值為f（2）=（4-3a）e²．
②-2＜a＜2，則當x∈（-2，2）時，
當x變化時，f'（x），f（x）的變化情況如下表：

所以，當x=a時，函數f（x）取得最小值，最小值為f（a）=-a•e^a．
③a≤-2，則當x∈（-2，2）時，f'（x）＞0，函數f（x）在（-2，2）上單調遞增，
所以，當x=-2時，函數f（x）取得最小值，最小值為f（-2）=（4+a）e^-2．
綜上，當a≤-2時，f（x）的最小值為（4+a）e^-2；當-2＜a＜2時，f（x）的最小值為-a•e^a；
當a≥2時，f（x）的最小值為（4-3a）e²．

點評：考查學生利用導數求函數在閉區(qū)間上的最值的能力，以及利用導數研究曲線上某點的切線方程的能力．