解:(1)設(shè)g(x)=ax
2+bx+c
于是g(x-1)+g(1-x)=2a(x-1)
2+2c=(x-1)
2-2
所以
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又g(1)=-1
所以b=
![](http://thumb.zyjl.cn/pic5/latex/479.png)
所以
(2)
因為對?x∈[1,m],
![](http://thumb.zyjl.cn/pic5/latex/299706.png)
故H(x)在[1,m]上為減函數(shù)
(3)由(2)得:H(x)在[1,m]上為減函數(shù)則:
|H(x
1)-H(x
2)|<1?
![](http://thumb.zyjl.cn/pic5/latex/299707.png)
?
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記
![](http://thumb.zyjl.cn/pic5/latex/23481.png)
,
則
![](http://thumb.zyjl.cn/pic5/latex/23482.png)
所以
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是單調(diào)增函數(shù),
所以
![](http://thumb.zyjl.cn/pic5/latex/23484.png)
,故命題成立
分析:(1)設(shè)出二次函數(shù)g(x),將已知條件代入g(x)的解析式,列出關(guān)于待定系數(shù)的方程,解方程求出各個系數(shù),得到g(x)的解析式.
(2)將(1)中g(shù)(x)的解析式代入H(x),求出H(x)的導函數(shù),根據(jù)自變量的范圍,判斷出H(x)的導函數(shù)的符號,判斷出函數(shù)的單調(diào)性,得證.
(3)利用(2),H(x)的單調(diào)性,將要證的不等式化為關(guān)于m的不等式恒成立,構(gòu)造新函數(shù)h(x),求出h(x)的導數(shù),判斷出導函數(shù)的符號,從而得到h(x)的單調(diào)性,求出h(x)的最大值,得到要證的不等式.
點評:求函數(shù)模型已知的函數(shù)的解析式,一般用待定系數(shù)法求;利用導數(shù)判斷函數(shù)的單調(diào)性,導函數(shù)大于0,對應的是函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間;導函數(shù)小于0對應的是函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間;解決不等式恒成立問題,一般轉(zhuǎn)化為函數(shù)的最值問題.