Question

橢圓

x2

25

+

y2

9

=1上的一點(diǎn)p到兩焦點(diǎn)距離之積為m，則m最大時(shí)，P點(diǎn)坐標(biāo)是（　�。�

• A、（5，0）和（-5，0）
• B、（0，3）和（0，-3）
• C、(

  5

  2

  ，

  3 3

  2

  )和(

  5

  2

  ，-

  3 3

  2

  )
• D、(

  5 3

  2

  ，

  3

  2

  )和(-

  5 3

  2

  ，

  3

  2

  )

Answer 1

分析：設(shè)焦點(diǎn)坐標(biāo)為F₁，F(xiàn)₂，依題意可知|PF₁|+|PF₂|=10，|PF₁|•|PF₂|=m，根據(jù)均值不等式可求得2|PF₁|•|PF₂|≤|PF₁|²+|PF₂|²求得m的最大值，當(dāng)且僅當(dāng)|PF₁|=|PF₂|時(shí)等號(hào)成立，根據(jù)橢圓對(duì)稱性可知當(dāng)點(diǎn)P在橢圓的短軸頂點(diǎn)時(shí)，等號(hào)成立．點(diǎn)P的坐標(biāo)可得．

解答：解：設(shè)焦點(diǎn)坐標(biāo)為F₁，F(xiàn)₂，依題意可知|PF₁|+|PF₂|=10，|PF₁|•|PF₂|=m
∴|PF₁|²+|PF₂|²=100-2m
∵2|PF₁|•|PF₂|≤|PF₁|²+|PF₂|²
∴2m≤100-2m，即m≤25（當(dāng)且僅當(dāng)|PF₁|=|PF₂|時(shí)等號(hào)成立）
即當(dāng)點(diǎn)P在橢圓的短軸頂點(diǎn)時(shí)，等號(hào)成立．
∴此時(shí)點(diǎn)P的坐標(biāo)為（0，3）和（0，-3）
故選B

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程和橢圓的基本性質(zhì)．考查了學(xué)生對(duì)橢圓定義的理解和運(yùn)用．