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已知函數f（x）=x-數學公式+1-alnx，a＞0
（1）a=1，求曲線在點A（1，f（1））處的切線方程　
（2）討論f（x）的單調性；
（3）設a=3，求f（x）在區(qū)間{1，e2}上值域．期中e=2.71828…是自然對數的底數．

解：（1）f′（x）=1+-
f′（1）=2∴曲線在點A（1，f（1））處的切線方程y=2x-2 （3分）
（2）∵f′（x）=1+-
令t=，y=2t2-at+1（t≠0）
①△=a2-8≤0，即：0＜a≤2 ，y≥0恒成立
∴函數f（x）在（-∞，0），（0，+∞）上是增函數
②①△=a2-8＞0，即：a＞2 ，y=0有兩個根
由2t2-at+1＞0，或t＞
或x＜0或x＞
由2t2-at+1＜0，
∴
綜上：①0＜a≤2 ，函數f（x）在（-∞，0），（0，+∞）上是增函數
②a＞2 函數f（x）在（-∞，0），上是增函數，在 上是減函數，
（3）當a=3時，由（1）知f（x）在（1，2）上是減函數，在[2，e2]上是增函數
又f（1）=0，f（2）=2-3ln2＜0，f（e2）=e2-
∴f（x）在區(qū)間{1，e2}上值域是[2-3ln2，e2-]
分析：（1）先求導函數，然后求出在x=1處的導數，得到切線的斜率，最后利用點斜式寫出切線方程，化成斜截式即可；
（2）先令t=，則y=2t2-at+1（t≠0），由求導可判斷其單調性，要注意對參數的討論，即不能漏掉，也不能重復．
（3）由（2）所涉及的單調性來求在區(qū)間上的值域即可．
點評：本題主要考查函數的單調性及值域，比較復雜的函數的單調性，一般用導數來研究，將其轉化為函數方程不等式綜合問題解決，研究值域時一定要先確定函數的單調性才能求解．
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相關習題

科目：高中數學 來源： 題型：

精英家教網已知函數f（x）=Asin（ωx+φ）（x∈R，A＞0，ω＞0，|φ|＜
π
2
）的部分圖象如圖所示，則f（x）的解析式是（　　）
A、f(x)=2sin(πx+
π
6
)(x∈R)
B、f(x)=2sin(2πx+
π
6
)(x∈R)
C、f(x)=2sin(πx+
π
3
)(x∈R)
D、f(x)=2sin(2πx+
π
3
)(x∈R)

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科目：高中數學 來源： 題型：

（2012•深圳一模）已知函數f(x)=
1
3
x3+bx2+cx+d，設曲線y=f（x）在與x軸交點處的切線為y=4x-12，f′（x）為f（x）的導函數，且滿足f′（2-x）=f′（x）．
（1）求f（x）；
（2）設g(x)=x
f′(x)
 ， m＞0，求函數g（x）在[0，m]上的最大值；
（3）設h（x）=lnf′（x），若對一切x∈[0，1]，不等式h（x+1-t）＜h（2x+2）恒成立，求實數t的取值范圍．

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科目：高中數學 來源： 題型：

（2011•上海模擬）已知函數f(x)=(
x
a
-1)2+(
b
x
-1)2，x∈(0，+∞)，其中0＜a＜b．
（1）當a=1，b=2時，求f（x）的最小值；
（2）若f（a）≥2m-1對任意0＜a＜b恒成立，求實數m的取值范圍；
（3）設k、c＞0，當a=k2，b=（k+c）2時，記f（x）=f1（x）；當a=（k+c）2，b=（k+2c）2時，記f（x）=f2（x）．
求證：f1(x)+f2(x)＞
4c2
k(k+c)
．

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科目：高中數學 來源：上海模擬 題型：解答題

已知函數f(x)=(
x
a
-1)2+(
b
x
-1)2，x∈(0，+∞)，其中0＜a＜b．
（1）當a=1，b=2時，求f（x）的最小值；
（2）若f（a）≥2m-1對任意0＜a＜b恒成立，求實數m的取值范圍；
（3）設k、c＞0，當a=k2，b=（k+c）2時，記f（x）=f1（x）；當a=（k+c）2，b=（k+2c）2時，記f（x）=f2（x）．
求證：f1(x)+f2(x)＞
4c2
k(k+c)
．

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科目：高中數學 來源：深圳一模 題型：解答題

已知函數f(x)=
1
3
x3+bx2+cx+d，設曲線y=f（x）在與x軸交點處的切線為y=4x-12，f′（x）為f（x）的導函數，且滿足f′（2-x）=f′（x）．
（1）求f（x）；
（2）設g(x)=x
f′(x)
 ， m＞0，求函數g（x）在[0，m]上的最大值；
（3）設h（x）=lnf′（x），若對一切x∈[0，1]，不等式h（x+1-t）＜h（2x+2）恒成立，求實數t的取值范圍．

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