Question

已知函數(shù)．

(Ⅰ)求函數(shù)的最小值；

(Ⅱ)求證：；

(Ⅲ)對(duì)于函數(shù)與定義域上的任意實(shí)數(shù)，若存在常數(shù)，使得和都成立，則稱(chēng)直線(xiàn)為函數(shù)與的“分界線(xiàn)”.設(shè)函數(shù)，，與是否存在“分界線(xiàn)”？若存在，求出的值；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.

 

Answer 1

【答案】

(Ⅰ)的最小值為；(Ⅱ)詳見(jiàn)解析；（Ⅲ），

【解析】

試題分析：(Ⅰ)求導(dǎo)得：，由此可得函數(shù)在上遞減，上遞增，

從而得的最小值為．

(Ⅱ)注意用第(Ⅰ)小題的結(jié)果.由(Ⅰ)知.這個(gè)不等式如何用？結(jié)合所在證的不等式可以看出，可以?xún)啥送瑫r(shí)乘以變形為：，把換成得，在這個(gè)不等式中令然后將各不等式相乘即得.

（Ⅲ）結(jié)合題中定義可知，分界線(xiàn)就是一條把兩個(gè)函數(shù)的圖象分開(kāi)的直線(xiàn).那么如何確定兩個(gè)函數(shù)是否存在分界線(xiàn)？顯然，如果兩個(gè)函數(shù)的圖象沒(méi)有公共點(diǎn)，則它們有無(wú)數(shù)條分界線(xiàn)，如果兩個(gè)函數(shù)至少有兩個(gè)公共點(diǎn)，則它們沒(méi)有分界線(xiàn).所以接下來(lái)我們就研究這兩個(gè)函數(shù)是否有公共點(diǎn).為此設(shè).通過(guò)求導(dǎo)可得當(dāng)時(shí)取得最小值0，這說(shuō)明與的圖象在處有公共點(diǎn)．如果它們存在分界線(xiàn)，則這條分界線(xiàn)必過(guò)該點(diǎn).所以設(shè)與的“分界線(xiàn)”方程為.由于的最小值為0，所以，所以分界線(xiàn)必滿(mǎn)足和.下面就利用這兩個(gè)不等式來(lái)確定的值.

試題解析：(Ⅰ)解：因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn//pic6/res/gzsx/web/STSource/2014030705182849027478/SYS201403070519413965693890_DA.files/image005.png">，令，解得，

令，解得，

所以函數(shù)在上遞減，上遞增，

所以的最小值為．                            3分

(Ⅱ)證明：由(Ⅰ)知函數(shù)在取得最小值，所以，即

兩端同時(shí)乘以得，把換成得，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立．

由得，，， ，

，．

將以上各式相乘得：

．         9分

（Ⅲ）設(shè).

則．

所以當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，．

因此時(shí)取得最小值0，則與的圖象在處有公共點(diǎn)．

設(shè)與存在 “分界線(xiàn)”，方程為.

由在恒成立，

則在恒成立.

所以成立.因此.

下面證明成立.

設(shè)，.

所以當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，.

因此時(shí)取得最大值0，則成立.

所以，.                                   14分

考點(diǎn)：1、導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用；2、函數(shù)與不等式；3、新定義概念.