Question

已知F₁、F₂分別是雙曲線(xiàn)C：的左、右焦點(diǎn)，點(diǎn)A在雙曲線(xiàn)C上，點(diǎn)M（1，0）．若AM平分∠F₁AF₂，則|AM|=________．

Answer 1

2
分析：首先求出雙曲線(xiàn)的半焦距c=3，可得左焦點(diǎn)F₁（-3，0），右焦點(diǎn)F₂（3，0），求出|MF₁|=4，|MF₁|=2．再利用三角形內(nèi)角平分線(xiàn)定理，在△F₁AF₂中根據(jù)AM平分∠F₁AF₂，得==2，所以|AF₁|=2|AF₂|，結(jié)合雙曲線(xiàn)的定義得|AF₁|-|AF₂|=2a=4，從而有|AF₁|=8，|AF₂|=4，最后分別在△F₁AF₂中和△MAF₂中利用余弦定理，可得|AM|²=24，從而得到|AM|=2．
解答：∵雙曲線(xiàn)C的方程為
∴c²=4+5=9，c=3，可得左焦點(diǎn)F₁（-3，0），右焦點(diǎn)F₂（3，0），
因此|MF₁|=1+3=4，|MF₁|=3-1=2，
∵△F₁AF₂中，AM平分∠F₁AF₂，
∴==2，可得|AF₁|=2|AF₂|
又∵點(diǎn)A在雙曲線(xiàn)C上，|AF₁|-|AF₂|=2a=4
∴|AF₁|=8，|AF₂|=4
∴△F₁AF₂中，cos∠F₁F₂A==-
所以在△MAF₂中，|AM|²=2²+4²-2×2×4cos∠F₁F₂M=24
∴|AM|==2
故答案為：2
點(diǎn)評(píng)：本題給出雙曲線(xiàn)的焦點(diǎn)三角形F₁AF₂中，角A的平分線(xiàn)恰好經(jīng)過(guò)點(diǎn)M（1，0），求線(xiàn)段AM的長(zhǎng)度，著重考查了雙曲線(xiàn)的簡(jiǎn)單性質(zhì)、三角形內(nèi)角平分線(xiàn)定理和余弦定理等知識(shí)點(diǎn)，屬于中檔題．