Question

設(shè)數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和為S_n，且S_n=（m+1）-ma_n對(duì)于任意的正整數(shù)n都成立，其中m為常數(shù)，且m＜-1．
（1）求證：數(shù)列{a_n}是等比數(shù)列；
（2）設(shè)數(shù)列{a_n}的公比q=f（m），數(shù)列{b_n}滿足：，b_n=f（b_n-1）（n≥2，n∈N），求證：數(shù)列{}是等差數(shù)列，并求數(shù)列{b_nb_n+1}的前n項(xiàng)和．

Answer 1

解：（1）由已知S_n=（m+1）-ma_n；
S_n+1=（m+1）-ma_n+1，
相減，得：a_n+1=ma_n-ma_n+1，
即=，
所以{a_n}是等比數(shù)列
（2）當(dāng)n=1時(shí)，a₁=m+1-ma₁，
則a₁=1，
從而b₁=，
由（1）知q=f（m）=，
所以b_n=f（b_n-1）=（n≥2）
∴=1+，
∴數(shù)列{}是首項(xiàng)為，公差為1的等差數(shù)列
∴=3+（n-1）=n+2，
故：bn= （n≥1），
∴{b_nb_n+1==；
∴數(shù)列{b_nb_n+1}的前n項(xiàng)和A=（-）+（-）+…+（-）=-=．
分析：（1）由S_n=（m+1）-ma_n可得S_n+1=（m+1）-ma_n+1，兩式相減整理后即可證得{a_n}是等比數(shù)列；
（2）由（1）可求得a₁，從而可得b₁，由q=f（m）=；得b_n=f（b_n-1）=；兩邊取倒數(shù)即可得到數(shù)列{}是等差數(shù)列；進(jìn)而求出其通項(xiàng)，再利用裂項(xiàng)法求出數(shù)列{b_nb_n+1}的前n項(xiàng)和即可．
點(diǎn)評(píng)：本題考查數(shù)列的求和，難點(diǎn)在于求b_n，著重考查學(xué)生裂項(xiàng)法求和，屬于中檔題．