已知拋物線與雙曲線
有公共焦點
,點
是曲線
在第一象限的交點,且
.
(1)求雙曲線的方程;
(2)以雙曲線的另一焦點
為圓心的圓
與直線
相切,圓
.過點
作互相垂直且分別與圓
、圓
相交的直線
和
,設(shè)
被圓
截得的弦長為
,
被圓
截得的弦長為
,問:
是否為定值?如果是,請求出這個定值;如果不是,請說明理由.
(1)雙曲線的方程為
;(2)
是定值,且
.
解析試題分析:(1)先利用拋物線的定義求出點的橫坐標(biāo),然后將點
的橫坐標(biāo)代入拋物線的方程并結(jié)合點
所在的象限得到點
的坐標(biāo),先計算出
的長度,然后利用雙曲線的定義計算出
的值,由
確定
的值,從而得到雙曲線
的方程;(2)對直線
的斜率存在與否分兩種情況討論,對直線
的斜率不存在時進(jìn)行驗證,在直線
的斜率存在時,先假設(shè)直線
的方程,然后根據(jù)直線
與
的位置關(guān)系得到直線
的方程,并求出圓心到兩直線的距離,根據(jù)圓的半徑長、直線截圓的弦長和圓心距三者之間的關(guān)系求出兩直線截圓
的弦長
、
,并進(jìn)行驗證
是否為定值.
試題解析:(1)∵拋物線的焦點為
,
∴雙曲線的焦點為
、
, 1分
設(shè)在拋物線
上,且
,
由拋物線的定義得,,∴
,∴
,∴
, 3分
∴, 4分
又∵點在雙曲線
上,由雙曲線定義得:
,∴
, ∴雙曲線
的方程為:
. 6分
(2)為定值.下面給出說明.
設(shè)圓的方程為:
, ∵圓
與直線
相切,
∴圓的半徑為
,故圓
:
. 7分
顯然當(dāng)直線的斜率不存在時不符合題意, 8分
設(shè)的方程為
,即
,
設(shè)的方程為
,即
,
∴點到直線
的距離為
,
點到直線
的距離為
, 10分
∴直線被圓
截得的弦長
, &n
科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:解答題
設(shè)橢圓的左焦點為
,離心率為
,過點
且與
軸垂直的直線被橢圓截得的線段長為
(1)求橢圓方程;
(2)過點的直線
與橢圓交于不同的兩點
,當(dāng)
面積最大時,求
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:解答題
如圖,斜率為的直線過拋物線
的焦點,與拋物線交于兩點A、B, M為拋物線弧AB上的動點.
(Ⅰ).若,求拋物線的方程;
(Ⅱ).求△ABM面積的最大值.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:解答題
已知平面內(nèi)一動點P到點F(1,0)的距離與點P到y(tǒng)軸的距離的差等于1.
(Ⅰ)求動點P的軌跡C的方程;
(Ⅱ)過點F作兩條斜率存在且互相垂直的直線l1,l2,設(shè)l1與軌跡C相交于點A,B,l2與軌跡C相交于點D,E,求的最小值.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:解答題
已知橢圓:
,過點
作圓
的切線
交橢圓
于A,B兩點。
(1)求橢圓的焦點坐標(biāo)和離心率;
(2)求的取值范圍;
(3)將表示為
的函數(shù),并求
的最大值.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:解答題
已知橢圓的離心率為
,直線
與以原點為圓心、橢圓
的短半軸長為半徑的圓
相切.
(1)求橢圓的方程;
(2)如圖,、
、
是橢圓
的頂點,
是橢圓
上除頂點外的任意點,直線
交
軸于點
,直線
交
于點
,設(shè)
的斜率為
,
的斜率為
,求證:
為定值.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:解答題
已知曲線的參數(shù)方程為
(
為參數(shù)),以坐標(biāo)原點為極點,
軸的正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系,曲線
的極坐標(biāo)方程為
.
(Ⅰ)把的參數(shù)方程化為極坐標(biāo)方程;
(Ⅱ)求與
交點的極坐標(biāo)(
).
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:解答題
如圖,已知拋物線焦點為
,直線
經(jīng)過點
且與拋物線
相交于
,
兩點
(Ⅰ)若線段的中點在直線
上,求直線
的方程;
(Ⅱ)若線段,求直線
的方程
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:解答題
已知橢圓的離心率為
,以原點為圓心,橢圓的短半軸為半徑的圓與直線
相切,直線
與橢圓C相交于A、B兩點.
(Ⅰ)求橢圓C的方程;
(Ⅱ)求的取值范圍;
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