已知四棱錐P-ABCD的底面ABCD是邊長為2的正方形，PD⊥底面ABCD，E，F(xiàn)分別為棱BC、AD的中點.

（1）求證：DE∥平面PFB；

（2）已知二面角P-BF-C的余弦值為，求四棱錐P-ABCD的體積.

【解析】(1)證：DE//BF即可；

（2）可以利用向量法根據(jù)二面角P-BF-C的余弦值為,確定高PD的值，即可求出四棱錐的體積.也可利用傳統(tǒng)方法直接作出二面角的平面角，求高PD的值也可.在找平面角時，要考慮運用三垂線或逆定理.

 

【答案】

（Ⅰ）因為E，F(xiàn)分別為正方形ABCD的兩邊BC，AD的中點，

所以,                            2分

所以，為平行四邊形,                3分

得，                             4分          

又因為平面PFB，且平面PFB,    所以DE∥平面PFB.           5分

（Ⅱ）如圖，以D為原點，射線DA,DC,DP分

別為x,y,z軸建立空間直角坐標系.           6分

設PD=a,      可得如下點的坐標：

P(0,0,a),F(1,0,0),B(2,2,0)            則有：

因為PD⊥底面ABCD，所以平面ABCD的一個法向量為，     7分

設平面PFB的一個法向量為，則可得

   即 

令x=1,得，所以.           8分

由已知，二面角P-BF-C的余弦值為，所以得:

,              

解得a =2.   因為PD是四棱錐P-ABCD的高，所以，其體積為.

 

練習冊系列答案
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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

精英家教網(wǎng)如圖，已知四棱錐P--ABC的底面ABCD為正方形，PA⊥平面ABCD，PA=AB=2，e為PC的中點，F(xiàn)為AD的中點．
（Ⅰ）證明EF∥平面PAB；
（Ⅱ）證明EF⊥平面PBC；
（III）點M是四邊形ABCD內的一動點，PM與平面ABCD所成的角始終為45°，求動直線PM所形成的曲面與平面ABCD、平面PAB、平面PAD所圍成幾何體的體積．

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（2）求證：PA⊥BD
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10
5
，求PB的長．

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已知四棱錐P-ABCD的底面是直角梯形，∠ABC=∠BCD=90°，E為BC中點，AE與BD交于O點，AB=BC=2CD=2，BD⊥PE．
（1）求證：平面PAE⊥平面ABCD； 
（2）若直線PA與平面ABCD所成角的正切值為
5
2
，PO=2，求四棱錐P-ABCD的體積．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

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（Ⅰ）求證：BD⊥平面PAB．
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科目：高中數(shù)學 來源：2010-2011學年山東省濟寧一中高三（上）期末數(shù)學試卷（理科）（解析版） 題型：解答題

如圖，已知四棱錐P--ABC的底面ABCD為正方形，PA⊥平面ABCD，PA=AB=2，e為PC的中點，F(xiàn)為AD的中點．
（Ⅰ）證明EF∥平面PAB；
（Ⅱ）證明EF⊥平面PBC；
（III）點M是四邊形ABCD內的一動點，PM與平面ABCD所成的角始終為45°，求動直線PM所形成的曲面與平面ABCD、平面PAB、平面PAD所圍成幾何體的體積．

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