Question

函數(shù)f（x）=sin（ωx+φ）（ω＞0，ω∈Z，0≤φ≤π）是R上的偶函數(shù)，其圖象關于點M（

3π

4

，0）對稱，且在[0，

π

2

]上是單調函數(shù)．
（1）求ω和φ的值；
（2）求這個函數(shù)的單調增區(qū)間．

Answer 1

考點：函數(shù)y=Asin（ωx+φ）的圖象變換,正弦函數(shù)的圖象

專題：三角函數(shù)的圖像與性質

分析：（1）由f（x）為偶函數(shù)，求得φ=

π

2

．由圖象關于M（

3π

4

，0）對稱，可得cos

3πω

4

=0，求得ω=

2

3

（2k+1），k∈z．再根據(jù)f（x）在[0，

π

2

]上是單調函數(shù)，可得ω≤2，從而求得ω和φ的值．
（2）由函數(shù)f（x）=sin（2x+

π

2

）=cos2x，令2π-π≤2x≤2kπ，求得x的范圍，可得函數(shù)的單調增區(qū)間．

解答： 解：（1）∵f（x）為偶函數(shù)，∴f（0）=sinφ=±1，∵0≤φ≤π，∴φ=

π

2

．
又∵圖象關于M（

3π

4

，0）對稱，∴cos

3πω

4

=0，∴

3πω

4

=kπ+

π

2

，k∈z，
∴ω=

2

3

（2k+1），k∈z．
又∵f（x）在[0，

π

2

]上是單調函數(shù)，∴

2π

ω

≥π，∴ω≤2．
∴當k=1時，ω=2，可得 φ=

π

2

，ω=2．
（2）∵函數(shù)f（x）=sin（2x+

π

2

）=cos2x．
由2π-π≤2x≤2kπ，求得 kπ-

π

2

≤x≤kπ，k∈z，
∴函數(shù)的單調增區(qū)間[kπ-

π

2

，kπ]，k∈z．

點評：本題主要考查正弦函數(shù)的圖象和性質，余弦函數(shù)的單調性，屬于基礎題．