已知橢圓C：M：
x2
a2
+
y2
b2
=1（a＞b＞0）的離心率e=
3
5
，且橢圓上一點(diǎn)與橢圓的兩個(gè)焦點(diǎn)構(gòu)成的三角形周長(zhǎng)為16
（Ⅰ）求橢圓M的方程；
（Ⅱ）若O（0，0）、P（2，2），試探究在橢圓C內(nèi)部是否存在整點(diǎn)Q（平面內(nèi)橫、縱坐標(biāo)均為整數(shù)的點(diǎn)稱為整點(diǎn)），使得△OPQ的面積S△OPQ=4？若存在，請(qǐng)指出共有幾個(gè)這樣的點(diǎn)？并說(shuō)明理由（不必具體求出這些點(diǎn)的坐標(biāo)）．
分析：（I）利用橢圓的離心率e=
3
5
，且橢圓上一點(diǎn)與橢圓的兩個(gè)焦點(diǎn)構(gòu)成的三角形周長(zhǎng)為16，求出幾何量，即可得到橢圓M的方程；
（Ⅱ）利用S△OPQ=4，可得點(diǎn)Q在與直線OP平行且距離為2
2
的直線l上，確定直線方程與橢圓方程聯(lián)立，即可求得結(jié)論．
解答：解：（Ⅰ）設(shè)橢圓C的半焦距為c，由題意可知道：
2a+2c=16
c
a
=
3
5
，解得
a=5
c=3
…（3分）
又因?yàn)閍2=b2+c2，所以b=
a2-c2=4

所以橢圓的方程為
x2
25
+
y2
16
=1…（6分）
（Ⅱ）依題意|OP|=2
2
，直線OP的方程為y=x，…（7分）
因?yàn)镾△OPQ=4，所以Q到直線OP的距離為2
2
，…（8分）
所以點(diǎn)Q在與直線OP平行且距離為2
2
的直線l上，
設(shè)l：y=x+m，則
|m|
2
=2
2
，解得m=±4  …（10分）
當(dāng)m=4時(shí)，由
y=x+4
x2
25
+
y2
16
＜1
，
消元得41x2+200x＜0，即-
200
41
＜x＜0 …（12分）
又x∈Z，所以x=-4，-3，-2，-1，相應(yīng)的y也是整數(shù)，此時(shí)滿足條件的點(diǎn)Q有4個(gè)．
當(dāng)m=-4時(shí)，由對(duì)稱性，同理也得滿足條件的點(diǎn)Q有4個(gè)．…（13分）
綜上，存在滿足條件的點(diǎn)Q，這樣的點(diǎn)有8個(gè)．…（14分）
點(diǎn)評(píng)：本題考查橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程與性質(zhì)，考查直線與橢圓的位置關(guān)系，考查學(xué)生分析解決問(wèn)題的能力，屬于中檔題．
練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

已知橢圓C：
x2
a2
+
y2
b2
=1（a＞b＞0）的左頂點(diǎn)和右焦點(diǎn)分別為A，F(xiàn)，右準(zhǔn)線為直線m，圓D：x2+y2-6y-4=0．
（1）若點(diǎn)A在圓D上，且橢圓C的離心率為
3
2
，求橢圓C的方程；
（2）若直線m上存在點(diǎn)Q，使△AFQ為等腰三角形，求橢圓C的離心率的取值范圍；
（3）若點(diǎn)P在（1）中的橢圓C上，且過(guò)點(diǎn)P可作圓D的兩條切線，切點(diǎn)分別為M、N，求弦長(zhǎng)MN的取值范圍．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

已知橢圓C：
x2
a2
+
y2
b2
=1（a＞b＞0）的焦距為4，且與橢圓x2+
y2
2
=1有相同的離心率，斜率為k的直線l經(jīng)過(guò)點(diǎn)M（0，1），與橢圓C交于不同兩點(diǎn)A、B．
（1）求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；
（2）當(dāng)橢圓C的右焦點(diǎn)F在以AB為直徑的圓內(nèi)時(shí)，求k的取值范圍．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

已知橢圓C：
x2
a2
+
y2
b2
=1（a＞b＞0）的左右焦點(diǎn)F1、F2與短軸一端點(diǎn)的連線互相垂直，M為橢圓上任一點(diǎn)，且△MF1F2的面積最大值為1．
（1）求橢圓C的方程；
（2）設(shè)圓A：x2+y2=
2
3
的切線l與橢圓C交于P、Q兩點(diǎn)，求以坐標(biāo)原點(diǎn)O及P、Q三點(diǎn)為頂點(diǎn)的△OPQ的外接圓面積的最大值．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

（2013•茂名二模）已知橢圓C：
x2
a2
+
y2
b2
=1（a＞b＞0），一條直線λx-y-2λ=0（λ∈R）．所經(jīng)過(guò)的定點(diǎn)恰好是橢圓的一個(gè)定點(diǎn)，且橢圓的離心率為
1
2

（1）求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；
（2）已知圓O：x2+y2=r2（b＜r＜a），若另一條直線與橢圓C只有一個(gè)公共點(diǎn)M，且直線與圓O相切于點(diǎn)N，求|MN|的最大值．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

已知橢圓C：
x2
a2
+
y2
b2
=1(a＞b＞0)的長(zhǎng)軸長(zhǎng)為4，若點(diǎn)P是橢圓C上任意一點(diǎn)，過(guò)原點(diǎn)的直線l與橢圓相交于M、N兩點(diǎn)，記直線PM、PN的斜率分別為KPM、KPN，當(dāng)KPM•KPN=-
1
4
時(shí)，則橢圓方程為（　�。�

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