Question

已知數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)為a_n=log_n+1（n+2）（n∈N^*），我們把使乘積a₁•a₂•a₃…a_n為整數(shù)的n叫做“優(yōu)數(shù)”，則在（1，2010]內(nèi)的所有“優(yōu)數(shù)”的和為（ ）
A．1024
B．2003
C．2026
D．2048

Answer 1

【答案】分析：由題意可得，a₁•a₂…a_n=log₂3•log₃4…log_n+1（n+2）==log₂（n+2），若使log₂（n+2）為整數(shù)，則n+2=2^k，在（1，2010]內(nèi)的所有整數(shù)可求，進(jìn)而利用分組求和及等比數(shù)列的求和公式可求
解答：解：∵a_n=log_n+1（n+2）
∴a₁•a₂…a_n=log₂3•log₃4…log_n+1（n+2）
===log₂（n+2）
若使log₂（n+2）為整數(shù)，則n+2=2^k
在（1，2010]內(nèi)的所有整數(shù)分別為：2²-2，，2³-2，…，2¹⁰-2
∴所求的數(shù)的和為2²-2+2³-2+…+2¹⁰-2==2026
故選：C
點(diǎn)評(píng)：本題以新定義“優(yōu)數(shù)”為切入點(diǎn)，主要考查了對(duì)數(shù)的換底公式及對(duì)數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)的應(yīng)用，屬于中檔試題