Question

（類型A）已知函數f（x）=x³+ax²+x+1，a∈R．
（1）討論函數f（x）的單調區(qū)間；
（2）設函數f（x）在區(qū)間內是減函數，求a的取值范圍．
（類型B）已知函數f（x）=x³-ax+1，a∈R．
（1）討論函數f（x）的單調區(qū)間；
（2）設函數f（x）在區(qū)間內是減函數，求a的取值范圍．

Answer 1

解：（類型A）（1）f（x）=x³+ax²+x+1∴f'（x）=3x²+2ax+1
當a²≤3時，即 時，△≤0，f'（x）≥0，f（x）在R上遞增．
當a²＞3時，即 或 時，△＞0，f'（x）=0求得兩根為
即f（x）在 ，上遞增，在 遞減．
（2）f'（x）=3x²+2ax+1≤0在 恒成立．
即 在 恒成立．
可知 在 上為減函數，在 上為增函數． ．
所以a≥2．a的取值范圍是[2，+∞）．
（類型B）（1）f（x）=x³-ax+1∴f'（x）=3x²-a
當a≤0時，f'（x）≥0，f（x）在R上遞增．
當a＞0時，f'（x）=0求得兩根為x=±
即f（x）在（-∞，），（，+∞）上遞增，在（，）遞減．
（2）f'（x）=3x²-a≤0在 恒成立．
即a≥3x²在 恒成立．
可知3x²在（-，）上為減函數，
所以a≥．a的取值范圍是[，+∞）．
分析：（類型A）（1）求出函數f（x）=x³+ax²+x+1，對參數a的范圍進行討論得出函數的單調區(qū)間．
（2）設函數f（x）在區(qū)間內是減函數，即導數在在區(qū)間內恒小于0由二次函數的性質轉化出關于參數的不等式，解出a的取值范圍．
（類型B））（1）求出函數f（x）=x³-ax+1，對參數a的范圍進行討論得出函數的單調區(qū)間；
（2）先由函數求導，再由“函數f（x）在區(qū)間 內是減函數”轉化為“f'（x）=3x²-a≤0在 恒成立”，進一步轉化為最值問題：3x²≤a在 恒成立，求得函數的最值即可．
點評：本題考查利用導數研究函數的單調性，求解本題的關鍵是正確求出函數的導數，對于第一問要注意到參數的取值范圍對導數的符號有影響故需要對參數分類討論，而第二問中關鍵是把函數是減函數的性質轉化為函數恒成立的問題，轉化思想在高中數學在應用很廣泛．