Question

已知拋物線的焦點為，點是拋物線上的一點，且其縱坐標為4，．

（1）求拋物線的方程；

（2） 設點是拋物線上的兩點，的角平分線與軸垂直，求的面積最大時直線的方程．

 

Answer 1

（1）;（2）

【解析】

試題分析：（1）由于點是拋物線上的一點，且其縱坐標為4，假設點，再通過，可得一個關于與的關系式，在結合拋物線方程即可求出．從而求得拋物線的方程．

（2）因為的角平分線與軸垂直，所以可知的傾斜角互補，即的斜率互為相反數(shù)．所以假設直線PA，聯(lián)立拋物線方程即可得到點A的坐標，類比地求出點B的坐標．結合韋達定理，可以得到直線AB的斜率為定值-1．通過假設直線AB的方程，聯(lián)立拋物線的方程，應用點到直線的距離，即可表示三角形的面積．再通過求最值即能到結論．

（1）設，因為，由拋物線的定義得，又，所以，

因此，解得，從而拋物線的方程為．

（2）由（1）知點的坐標為，因為的角平分線與軸垂直，所以可知的傾斜角互補，即的斜率互為相反數(shù)

設直線的斜率為，則，由題意，

把代入拋物線方程得，該方程的解為4、，

由韋達定理得，即，同理，

所以，

設，把代入拋物線方程得，

由題意，且，從而

又，所以，點到的距離，

因此，設，

則，

由知，所以在上為增函數(shù)，因此，

即面積的最大值為．

的面積取最大值時，所以直線的方程為．

考點：1．拋物線的性質．2．函數(shù)的最值．3．等價變換．4．圓錐曲線與函數(shù)知識的交匯．