用數(shù)學(xué)歸納法證明(3n＋1)·7n－1能被9整除．

 

答案：
解析：

證明：(1)當(dāng)n＝1時(shí)，(3×1＋1)·71－1＝27能被9整除，所以命題成立．

(2)假設(shè)當(dāng)n＝k(k∈N*)時(shí)能被9整除，即(3n＋1)·7k－1能被9整除．

則當(dāng)n＝k＋1時(shí)，［3(k＋1)＋1］·7k＋1－1＝3k·7k＋1＋4·7k＋1－1

＝7［(3k＋1)·7k－1］－7k＋1＋7＋4·7k＋1－1＝7［(3k＋1)·7k－1］＋3·7k＋1＋6

＝7［(3k＋1)·7k－1］＋3［(6＋1)k＋1＋2］＝7［(3k＋1)·7k－1］＋3［6k＋1＋6k＋6k－1＋…＋1＋2］

＝7［(3k＋1)·7k－1］＋3［6k＋1＋6k＋6k－1＋…＋3］

由歸納假設(shè)及3［6k＋1＋6k＋＋16k－1＋…＋3］都含有9的因子，因此上式能被9整除．

故當(dāng)n＝k＋1時(shí)，命題成立．

由(1)、(2)可知對于一切n∈N*命題都成立．

 


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9、用數(shù)學(xué)歸納法證明“5n-2n能被3整除”的第二步中，n=k+1時(shí)，為了使用歸納假設(shè)，應(yīng)將5k+1-2k+1變形為
5（5k-2k）+3×2k
．

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n(2n2+1)3
時(shí)，由n=k的假設(shè)到證明n=k+1時(shí)，等式左邊應(yīng)添加的式子是
（k+1）2+k2
（k+1）2+k2
．

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2（2k+1）
2（2k+1）
．

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對于數(shù)列{An}：A1，A2，A3，…，An，若不改變A1，僅改變A2，A3，…，An中部分項(xiàng)的符號，得到的新數(shù)列{an}稱為數(shù)列{An}的一個(gè)生成數(shù)列．如僅改變數(shù)列1，2，3，4，5的第二、三項(xiàng)的符號可以得到一個(gè)生成數(shù)列1，-2，-3，4，5．已知數(shù)列{an}為數(shù)列{
1
2n
}(n∈N*)的生成數(shù)列，Sn為數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和．
（1）寫出S3的所有可能值；
（2）若生成數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式為an=
1
2n
，n=3k+1
-
1
2n
，n≠3k+1
，k∈N，求Sn；
（3）用數(shù)學(xué)歸納法證明：對于給定的n∈N*，Sn的所有可能值組成的集合為：{x|x=
2m-1
2n
，m∈N*，m≤2n-1}．

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